Определить, имеет ли уравнение корни на отрезке

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (исследование функции, теорема о промежуточном значении)

Нам нужно определить, имеет ли уравнение
x + e^x = 0
корни на отрезке [-1; 0].

Рассмотрим функцию:
f(x) = x + e^x

Это непрерывная функция, так как сумма непрерывных функций (линейной x и экспоненты e^x) также является непрерывной.

Проверим значения функции на концах отрезка:

• f(-1) = -1 + e^{-1} \approx -1 + 0.3679 = -0.6321
• f(0) = 0 + e^0 = 1

Таким образом,
f(-1) < 0
f(0) > 0

Так как функция непрерывна на отрезке [-1; 0] и принимает значения разных знаков на концах отрезка, по теореме о промежуточном значении (теорема Больцано) существует хотя бы одна точка c \in (-1, 0), такая что
f(c) = 0.

Ответ:
Да, уравнение x + e^x = 0 имеет корень на отрезке [-1; 0].