Определить, что происходит с рядом

Предмет и раздел

Предмет: Математический анализ

Раздел: Ряды (геометрический ряд)

Условие задачи

Рассматривается геометрический ряд:

\[ \sum_{n=1}^\infty a q^n \]

и дано, что \(|q| < 1\). Требуется определить, что происходит с рядом.

Решение

Геометрический ряд выражается как:

\[ \sum_{n=1}^\infty aq^n = aq + aq^2 + aq^3 + \dots \]

Критерий сходимости геометрического ряда:

1. Ряд сходится, если \(|q| < 1\).
2. Ряд расходится, если \(|q| \geq 1\).

Когда \(|q| < 1\), сумма ряда может быть вычислена по формуле:

\[ S = \frac{aq}{1 - q}. \]

Таким образом:

• При \(|q| < 1\), геометрический ряд сходится.
• При этом его предел равен \( \frac{aq}{1 - q} \), что является конечным числом.

Ответ на вопрос

Поскольку \(|q| < 1\), ряд сходится.

Правильный вариант ответа: а. Ряд сходится

Объяснение

• Геометрический ряд подчиняется четкому критерию: его сходимость зависит только от значения модуля \(q\). В данном случае \(|q| < 1\), поэтому ряд сходится абсолютно.