Определить, будет ли ограниченной данная функция на указанном промежутке

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — свойства функций (ограниченность функции)

Задание:
Определить, будет ли функция
f(x) = \ln(\sin{x})
ограниченной на промежутке x \in (0, \pi).

Шаг 1: Область определения функции

Функция \ln(\sin{x}) определена тогда и только тогда, когда \sin{x} > 0, поскольку логарифм определён только для положительных чисел.

На промежутке (0, \pi) функция \sin{x} действительно положительна:

• \sin{0} = 0, но 0 не входит в промежуток.
• \sin{\pi} = 0, но \pi также не входит.
• Между ними \sin{x} > 0.

Значит, функция f(x) = \ln(\sin{x}) определена на всём промежутке (0, \pi).

Шаг 2: Поведение функции на концах промежутка

Исследуем поведение функции при x \to 0^+ и x \to \pi^−:

1. При x \to 0^+:

   • \sin{x} \to 0^+
   • Тогда \ln(\sin{x}) \to -\infty

2. При x \to \pi^−:

   • \sin{x} \to 0^+
   • Тогда \ln(\sin{x}) \to -\infty

Шаг 3: Вывод об ограниченности

Хотя функция определена на всём промежутке (0, \pi), она стремится к -\infty при приближении к границам промежутка. Это означает, что:

• Сверху функция ограничена: значение \ln(\sin{x}) достигает максимума при x = \frac{\pi}{2}, где \sin{x} = 1, и тогда f(x) = \ln{1} = 0.
• Снизу функция не ограничена, так как стремится к -\infty.

✅ Ответ:

Функция f(x) = \ln(\sin{x}) не является ограниченной на промежутке (0, \pi), так как она стремится к -\infty при x \to 0^+ и x \to \pi^−.