Определенное интегральное выражение

Предмет: Математический анализ

Раздел: Интегралы (интегрирование рациональных функций)

Дано определенное интегральное выражение:
\int \frac{\cos z}{z^2 - 4} dz

Решение

1. Разложение знаменателя
   Разложим знаменатель на множители:
   z^2 - 4 = (z - 2)(z + 2)

   Таким образом, интеграл принимает вид:
   \int \frac{\cos z}{(z - 2)(z + 2)} dz

2. Метод разложения на простые дроби
   Представим дробь в виде суммы простых дробей:
   \frac{1}{(z - 2)(z + 2)} = \frac{A}{z - 2} + \frac{B}{z + 2}

   Умножим обе части на (z - 2)(z + 2):
   1 = A(z + 2) + B(z - 2)

   Подставим подходящие значения для z:

   • При z = 2:
     1 = A(2 + 2) \Rightarrow 1 = 4A \Rightarrow A = \frac{1}{4}
   • При z = -2:
     1 = B(-2 - 2) \Rightarrow 1 = -4B \Rightarrow B = -\frac{1}{4}

3. Таким образом, разложение имеет вид:
   \frac{1}{(z - 2)(z + 2)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{z - 2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{z + 2}

4. Интегрирование
   Теперь интеграл принимает вид:
   \int \frac{\cos z}{(z - 2)(z + 2)} dz = \frac{1}{4} \int \frac{\cos z}{z - 2} dz - \frac{1}{4} \int \frac{\cos z}{z + 2} dz

   Здесь используются стандартные методы интегрирования дробей, но так как в выражении присутствует \cos z, потребуется более сложный метод, например, метод подстановки.

   Подстановка t = z - 2 и dt = dz приводит к виду:
   \int \frac{\cos (t+2)}{t} dt,
   что требует использования разложения \cos (t+2) через формулы приведения.

   Аналогично для второго слагаемого.

   Для точного вычисления потребуется дополнительное разложение \cos (z) и использование специальных интегральных методов.

Ответ: Решение требует использования метода интегрирования дробей в сочетании с разложением тригонометрических функций.