Определение существования указанного двойного предела или вывода о его несуществовании

Задание относится к математике, разделу математический анализ, тематике двойные пределы.

Данная задача требует определения существования указанного двойного предела или вывода о его несуществовании. Рассмотрим предел: \[ \lim_{(x, y) \to (1,0)} \frac{\ln(x + y)}{y}. \]

1. Проверка зависимости предела от пути

Для исследования существования предела при двух переменных важно проверить, зависит ли результат от пути, по которому \( (x, y) \) стремится к \( (1, 0) \). Если предел зависит от траектории, то общего предела не существует.

Путь 1: \( x = 1 \), \( y \to 0 \):

Подставим \( x = 1 \) в выражение: \[ \frac{\ln(x + y)}{y} = \frac{\ln(1 + y)}{y}. \]

Рассмотрим односторонний предел \( y \to 0^+ \): Применим разложение натурального логарифма: \( \ln(1 + y) \approx y \) для малых \( y \). Тогда: \[ \frac{\ln(1 + y)}{y} \to \frac{y}{y} \to 1. \]

При \( y \to 0^- \), в выражении \(\ln(1 + y)\) при малых отрицательных значениях \(y\) возникает проблема: \(1 + y\) внутри логарифма становится отрицательным, что невозможно. Таким образом, путь \( y \to 0^- \) противоречив и приводит к разрыву.

Вывод:

Предел не существует, так как не определён для отрицательных значений \(y\) на рассматриваемом пути.