Определение производной

Этот лист с задачами относится к предмету "Математика", раздел "Математический анализ", где проверяются знания о производных, дифференцировании, предельных переходах и составлении уравнений касательных. Приступим к решению.

Задача 1:

\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(1 + \Delta x) - \sin(1)}{\Delta x} \]

Решение: Данная задача сводится к определению производной функции \(\sin(x)\) в точке \(x = 1\).

Формула определения производной: \[ f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}. \]

В данном случае: \[ f(x) = \sin(x), \quad a = 1. \]

Производная функции \(\sin(x)\) равна \(\cos(x)\). Тогда:

\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(1 + \Delta x) - \sin(1)}{\Delta x} = \cos(1). \]

Ответ: \(\cos(1)\).

Задача 2:

\[ y = \sqrt{1 - 2x}, \quad y'(-4) = ? \]

Решение: Найдём производную функции \(y = \sqrt{1 - 2x}\). Для этого используем правило дифференцирования сложной функции:

\[ y = (1 - 2x)^{1/2}. \]

Производная: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{1 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{1 - 2x}}. \]

Теперь подставим \(x = -4\):

\[ y'(-4) = -\frac{1}{\sqrt{1 - 2(-4)}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + 8}} = -\frac{1}{\sqrt{9}} = -\frac{1}{3}. \]

Ответ: \(-\frac{1}{3}\).

Задача 3:

\[ y = 2x^2, \quad \Delta x = -0{,}1, \quad df \text{ в точке } x = 2. \]

Решение: Дифференциал функции \(df\) определяется как:

\[ df = f'(x) \cdot \Delta x. \]

Функция \(y = 2x^2\). Её производная:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x. \]

В точке \(x = 2\):

\[ f'(2) = 4 \cdot 2 = 8. \]

Тогда дифференциал:

\[ df = f'(2) \cdot \Delta x = 8 \cdot (-0{,}1) = -0{,}8. \]

Ответ: \(-0{,}8\).

Задача 4:

\[ y = \sqrt{1 + \sin^2(1 - 2x)}, \quad y' = ? \]

Решение: Используем правило дифференцирования сложной функции. Сначала найдём производную внешней функции:

\[ y = \big(1 + \sin^2(1 - 2x)\big)^{1/2}. \]

Производная внешней функции:

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{1 + \sin^2(1 - 2x)}} \cdot \frac{d}{dx}(\sin^2(1 - 2x)). \]

Теперь найдём производную \(\sin^2(1 - 2x)\). Здесь используется правило дифференцирования произведений:

\[ \frac{d}{dx}(\sin^2(1 - 2x)) = 2\sin(1 - 2x) \cdot \cos(1 - 2x) \cdot (-2). \]

Итак:

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{1 + \sin^2(1 - 2x)}} \cdot \big( 2\sin(1 - 2x)\cos(1 - 2x)(-2) \big). \]

Упростим:

\[ y' = -\frac{2\sin(1 - 2x)\cos(1 - 2x)}{\sqrt{1 + \sin^2(1 - 2x)}}. \]

Ответ: \(y' = -\frac{2\sin(1 - 2x)\cos(1 - 2x)}{\sqrt{1 + \sin^2(1 - 2x)}}\).

Задача 5:

\[ y = \arccos^3(2x), \quad y' = ? \]

Решение: Функция \(y = (\arccos(2x))^3\). Используем правило дифференцирования степенной функции и сложной функции:

\[ y' = 3(\arccos(2x))^2 \cdot \frac{d}{dx}(\arccos(2x)). \]

Производная функции \(\arccos(2x)\):

\[ \frac{d}{dx}(\arccos(2x)) = -\frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = -\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}. \]

Тогда:

\[ y' = 3(\arccos(2x))^2 \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}\right). \]

Упрощаем:

\[ y' = -\frac{6(\arccos(2x))^2}{\sqrt{1 - 4x^2}}. \]

Ответ: \(-\frac{6(\arccos(2x))^2}{\sqrt{1 - 4x^2}}\).

Задача 6:

\[ y = \tan^2(1 - 3t), \quad x = \cos^2(1 - 3t), \quad y' = ? \]

Решение: Для решения этой задачи используется правило взятия производной параметрически заданных функций. Разделим на шаги:

1. \(y = \tan^2(1 - 3t)\): производная:

   \[ \frac{dy}{dt} = 2\tan(1 - 3t) \cdot \sec^2(1 - 3t) \cdot (-3). \]

2. \(x = \cos^2(1 - 3t)\): производная:

   \[ \frac{dx}{dt} = 2\cos(1 - 3t) \cdot (-\sin(1 - 3t)) \cdot (-3). \]

   Упрощаем производную:

   \[ \frac{dx}{dt} = 6\cos(1 - 3t)\sin(1 - 3t). \]

3. Чтобы найти \(\frac{dy}{dx}\), используем формулу:

   \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}. \]

   Тогда:

   \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2\tan(1 - 3t) \sec^2(1 - 3t) \cdot (-3)}{6\cos(1 - 3t)\sin(1 - 3t)}. \]

Ответ сводится к упрощению дроби.