Определение особенностей подынтегральной функции

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Несобственные интегралы)

Дан несобственный интеграл:

\int_{1/2}^{1} \frac{dx}{x \ln x}

Шаг 1: Определение особенностей подынтегральной функции

Подынтегральная функция:
f(x) = \frac{1}{x \ln x}

Она имеет особенность при x = 1, так как \ln x \to 0 при x \to 1^{-}.

Шаг 2: Представление интеграла как предела

Так как \ln x стремится к нулю при x \to 1, заменим верхний предел x = 1 на параметр t и возьмем предел:

\int_{1/2}^{1} \frac{dx}{x \ln x} = \lim_{t \to 1^{-}} \int_{1/2}^{t} \frac{dx}{x \ln x}

Шаг 3: Подстановка

Пусть u = \ln x, тогда du = \frac{dx}{x}. Подстановка приводит интеграл к виду:

\int \frac{du}{u} = \ln |u| = \ln |\ln x|

Таким образом,

\int_{1/2}^{t} \frac{dx}{x \ln x} = \ln |\ln t| - \ln |\ln(1/2)|

Шаг 4: Исследование предела

Рассмотрим поведение \ln |\ln t| при t \to 1^{-}:

• При t \to 1, \ln t \to 0,
• Тогда \ln |\ln t| \to -\infty.

Следовательно,

\lim_{t \to 1^{-}} (\ln |\ln t| - \ln |\ln(1/2)|) = -\infty.

Шаг 5: Вывод

Так как предел уходит в -\infty, данный интеграл расходится.

Ответ: Интеграл расходится.