Область определения функций нескольких переменных

Предмет: Математический анализ

Раздел: Область определения функций нескольких переменных

Найдем область определения каждой функции, подробно объясняя каждый шаг.

а) ( z = \sqrt{4 - x^2 - y^2} )

Функция содержит квадратный корень, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть:

 4 - x^2 - y^2 \geq 0 

Решим это неравенство:

 x^2 + y^2 \leq 4 

Это означает, что область определения — внутренность и граница круга радиуса 2 с центром в начале координат.

Графическое изображение:

• Круг радиуса 2 с центром в (0,0), включая границу.

б) ( z = \ln(x + y) )

Функция содержит натуральный логарифм, который определен только для положительных аргументов, то есть:

 x + y > 0 

Вывод:

• Область определения — полуплоскость выше прямой ( x + y = 0 ), не включая саму прямую.

Графическое изображение:

• Прямая ( x + y = 0 ) (граница, не включена).
• Область — верхняя полуплоскость.

в) ( z = \sqrt{-(x - y)^2} )

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

 -(x - y)^2 \geq 0 

Так как квадрат любого числа ( (x - y)^2 ) всегда неотрицателен, то выражение (-(x - y)^2) всегда неположительно. Единственный случай, когда оно равно 0, — это когда:

 x - y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = y 

Вывод:

• Единственная точка, где функция определена, — это прямая ( x = y ).

Графическое изображение:

• Прямая ( x = y ) (только она входит в область определения).

г) ( z = \ln(4 + 4x - y^2) )

Логарифм определен только для положительных значений, значит:

 4 + 4x - y^2 > 0 

Решим это неравенство:

 4x - y^2 > -4 

или

 y^2 < 4x + 4 

Это означает, что область определения — внутренность параболы ( y^2 = 4x + 4 ).

Графическое изображение:

• Граничная парабола ( y^2 = 4x + 4 ) (не входит в область).
• Внутренность параболы.

д) ( z = \sqrt{x^2 + y^2 - 1} + \ln(9 - x^2 - y^2) )

1. Квадратный корень требует:

    x^2 + y^2 - 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 \geq 1 

   (внешность и граница круга радиуса 1).

2. Логарифм требует:

    9 - x^2 - y^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 < 9 

   (внутренность круга радиуса 3).

Вывод:

• Область определения — кольцо между кругами радиусов 1 и 3, включая внутреннюю границу (радиус 1), но не включая внешнюю границу (радиус 3).

Графическое изображение:

• Кольцо между кругами радиусов 1 и 3.

е) ( z = \sqrt{-x} + \sqrt{y} )

1. Квадратный корень из (-x) требует:

    -x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0 

2. Квадратный корень из ( y ) требует:

    y \geq 0 

Вывод:

• Область определения — вторая четверть плоскости, включая оси.

Графическое изображение:

• Левая верхняя четверть, включая оси.

ж) ( z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} )

Деление на ноль запрещено, значит:

 x \neq 0, \quad y \neq 0 

Вывод:

• Область определения — вся плоскость, кроме осей ( x = 0 ) и ( y = 0 ).

Графическое изображение:

• Вся плоскость без осей.

з) ( z = \sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - y^2} )

1. Первый корень требует:

    x^2 - 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad |x| \geq 1 

   (область за пределами полосы ( -1 \geq x ) или ( x \geq 1 )).

2. Второй корень требует:

    1 - y^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad |y| \leq 1 

   (область внутри полосы ( -1 \leq y \leq 1 )).

Вывод:

• Область — две полосы ( x \leq -1 ) или ( x \geq 1 ), пересекающиеся с полосой ( -1 \leq y \leq 1 ).

Графическое изображение:

• Две вертикальные полосы.

и) ( z = \frac{x}{y} )

Деление на ноль запрещено:

 y \neq 0 

Вывод:

• Область определения — вся плоскость, кроме оси ( y = 0 ).

Графическое изображение:

• Вся плоскость без оси ( y = 0 ).

к) ( z = \ln(xy) )

Логарифм требует:

 xy > 0 

Это верно, если:

• ( x > 0 ) и ( y > 0 ) (первая четверть)
• ( x < 0 ) и ( y < 0 ) (третья четверть)

Вывод:

• Область — первая и третья четверти.

Графическое изображение:

• Первая и третья четверти.

Готово! Теперь у нас есть подробный разбор и графическое представление для каждой функции. 🚀