Область определения функций двух переменных

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Область определения функций двух переменных)

Рассмотрим каждую функцию и найдем её область определения.

Пример (е):

z = \sqrt{-x} + \sqrt{y}

Определение области определения функции:

Функция содержит два квадратных корня:

• \sqrt{-x} определён тогда и только тогда, когда выражение под корнем неотрицательно:
  -x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0.
• \sqrt{y} определён тогда и только тогда, когда y \geq 0.

Вывод:

Область определения функции:
D = \{(x, y) \mid x \leq 0, y \geq 0\}.
Геометрически это вторая четверть координатной плоскости, включая оси Ox и Oy (левая полуплоскость при x \leq 0 и верхняя полуплоскость при y \geq 0).

Пример (ж):

z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}

Определение области определения функции:

Функция содержит дроби, знаменатели которых не должны быть равны нулю:

• x \neq 0
• y \neq 0

Вывод:

Область определения функции:
D = \{(x, y) \mid x \neq 0, y \neq 0\}.
Геометрически это вся плоскость, кроме осей Ox и Oy.

Пример (и):

z = \frac{x}{y}

Определение области определения функции:

Функция содержит дробь, знаменатель которой не должен быть равен нулю:

• y \neq 0

Вывод:

Область определения функции:
D = \{(x, y) \mid y \neq 0\}.
Геометрически это вся плоскость, кроме оси Oy.

Пример (к):

z = \ln(xy)

Определение области определения функции:

Функция содержит натуральный логарифм, который определён только для положительных аргументов:

• xy > 0

Это означает, что произведение x и y должно быть положительным. Это возможно в двух случаях:

1. Оба числа положительны: x > 0 и y > 0 (первая четверть).
2. Оба числа отрицательны: x < 0 и y < 0 (третья четверть).

Вывод:

Область определения функции:
D = \{(x, y) \mid xy > 0\}.
Геометрически это первая и третья четверти координатной плоскости.

Графическое представление областей определения:

• (е): Вторая четверть (включая оси).
• (ж): Вся плоскость, кроме осей.
• (и): Вся плоскость, кроме оси Oy.
• (к): Первая и третья четверти.

🔹 Таким образом, мы подробно разобрали область определения каждой функции, учитывая ограничения, накладываемые корнями, дробями и логарифмами.