Нужно вычислить интеграл с использованием метода интегрирования по частям

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, интегрирование

Нужно вычислить интеграл
 \int_{2}^{3} (5 - 2x) \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) \, dx 
с использованием метода интегрирования по частям.

Шаг 1. Запишем интеграл

 I = \int_{2}^{3} (5 - 2x) \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) \, dx 

Шаг 2. Выберем функции для интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям:
 \int u \, dv = uv - \int v \, du 

Выберем:
 u = (5 - 2x), \quad dv = \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) dx 

Тогда:
 du = -2 dx 

Чтобы найти  v , вычислим интеграл от  dv :
 v = \int \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) dx 

Шаг 3. Интегрируем  dv 

Воспользуемся заменой переменной:
 t = \frac{\pi n x}{3} \implies dt = \frac{\pi n}{3} dx \implies dx = \frac{3}{\pi n} dt 

Тогда:
 v = \int \cos(t) \cdot \frac{3}{\pi n} dt = \frac{3}{\pi n} \int \cos(t) dt = \frac{3}{\pi n} \sin(t) + C = \frac{3}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) + C 

Шаг 4. Подставляем в формулу интегрирования по частям

 I = u v \bigg|_{2}^{3} - \int_{2}^{3} v \, du = (5 - 2x) \cdot \frac{3}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) \bigg|_{2}^{3} - \int_{2}^{3} \frac{3}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) \cdot (-2) dx 

Упростим:
 I = \frac{3}{\pi n} (5 - 2x) \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) \bigg|_{2}^{3} + \frac{6}{\pi n} \int_{2}^{3} \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) dx 

Шаг 5. Вычислим интеграл  \int \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) dx 

Используем ту же замену переменной:
 t = \frac{\pi n x}{3}, \quad dx = \frac{3}{\pi n} dt 

Тогда:
 \int \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) dx = \int \sin(t) \cdot \frac{3}{\pi n} dt = \frac{3}{\pi n} \int \sin(t) dt = -\frac{3}{\pi n} \cos(t) + C = -\frac{3}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) + C 

Шаг 6. Подставляем пределы интегрирования и вычисляем

Итак,
 I = \frac{3}{\pi n} (5 - 2x) \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) \bigg|_{2}^{3} + \frac{6}{\pi n} \left[ -\frac{3}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) \right]_{2}^{3} = \frac{3}{\pi n} (5 - 2x) \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) \bigg|_{2}^{3} - \frac{18}{\pi^2 n^2} \left[ \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) \right]_{2}^{3} 

Вычислим значения на границах:

1. Для первого слагаемого:

• При  x=3 :
   5 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1, \quad \sin\left(\frac{\pi n \cdot 3}{3}\right) = \sin(\pi n) = 0 
  (так как  \sin(k \pi) = 0  для целого  k )

• При  x=2 :
   5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1, \quad \sin\left(\frac{\pi n \cdot 2}{3}\right) = \sin\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) 

Значит первый член:
 \frac{3}{\pi n} \left[ (-1) \cdot 0 - 1 \cdot \sin\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) \right] = - \frac{3}{\pi n} \sin\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) 

2. Для второго слагаемого:
    \left[ \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) \right]_{2}^{3} = \cos(\pi n) - \cos\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) 

Шаг 7. Итоговое выражение

 I = - \frac{3}{\pi n} \sin\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) - \frac{18}{\pi^2 n^2} \left( \cos(\pi n) - \cos\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) \right) 

Ответ:

 \boxed{ \int_{2}^{3} (5 - 2x) \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) dx = - \frac{3}{\pi n} \sin\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) - \frac{18}{\pi^2 n^2} \left( \cos(\pi n) - \cos\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) \right) }