Нужно разложить функцию в ряд Маклорена по переменным x и y

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, ряды Тейлора и Маклорена

Нужно разложить функцию
u = e^{-2x} \ln(1 - y)
в ряд Маклорена по переменным x и y до членов порядка 0(\rho^4), где
\rho = \sqrt{x^2 + y^2}.

Шаг 1. Разложение e^{-2x} в ряд Маклорена по x:

Используем разложение экспоненты:
e^t = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}.

Подставим t = -2x:
e^{-2x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2x)^n}{n!} = 1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} - \frac{(-2x)^3}{3!} + \cdots
Выпишем члены до порядка x^3 (так как \rho^4 включает степени суммы степеней x и y до 4):
e^{-2x} = 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3} x^3 + \cdots

Шаг 2. Разложение \ln(1 - y) в ряд Маклорена по y:

Известно, что
\ln(1 - y) = - \sum_{n=1}^\infty \frac{y^n}{n}, для |y| < 1.

Выпишем члены до y^3:
\ln(1 - y) = -y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} + \cdots

Шаг 3. Произведение рядов e^{-2x} и \ln(1 - y):

Нам нужно разложение функции
u = e^{-2x} \ln(1 - y) = \left(1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3} x^3 + \cdots \right) \cdot \left(-y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} + \cdots \right)
до членов порядка \rho^4, то есть с суммой степеней x и y не выше 4.

Перемножим члены по степеням:

• Члены порядка 1:
  1 \cdot (-y) = -y (степень y^1 x^0 = 1)

• Члены порядка 2:
  1 \cdot \left(-\frac{y^2}{2}\right) = -\frac{y^2}{2}
  -2x \cdot (-y) = 2xy (степень 1+1=2)

• Члены порядка 3:
  1 \cdot \left(-\frac{y^3}{3}\right) = -\frac{y^3}{3}
  -2x \cdot \left(-\frac{y^2}{2}\right) = x y^2
  2x^2 \cdot (-y) = -2x^2 y

• Члены порядка 4:
  -2x \cdot \left(-\frac{y^3}{3}\right) = \frac{2}{3} x y^3
  2x^2 \cdot \left(-\frac{y^2}{2}\right) = -x^2 y^2
  -\frac{4}{3} x^3 \cdot (-y) = \frac{4}{3} x^3 y

Итоговый ряд Маклорена до членов порядка \rho^4:

 \begin{aligned} u &= -y - \frac{y^2}{2} + 2 x y - \frac{y^3}{3} + x y^2 - 2 x^2 y + \frac{2}{3} x y^3 - x^2 y^2 + \frac{4}{3} x^3 y + \cdots \end{aligned} 

Вывод:

Функция u = e^{-2x} \ln(1 - y) разложена в ряд Маклорена по x и y до членов порядка \rho^4, где \rho = \sqrt{x^2 + y^2}, и имеет вид, записанный выше.