Нужно найти предел функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Пределы функций)

Нужно найти предел функции:
\lim_{x \to 2} \left(3x - 5\right)^{\frac{2x}{x^2 - 4}},
не используя правило Лопиталя.

Решение:

1. Анализ выражения:

   • При подстановке x = 2 в выражение \frac{2x}{x^2 - 4} знаменатель x^2 - 4 обращается в ноль, а числитель равен 2 \cdot 2 = 4. Таким образом, показатель степени стремится к бесконечности:
     \frac{2x}{x^2 - 4} \to \frac{4}{0} \to +\infty.

   • Основание 3x - 5 при x \to 2 стремится к 3 \cdot 2 - 5 = 1.

2. Однако, выражение 1^{\infty} является неопределённостью.

2. Переход к логарифму:

   Для удобства вычислений воспользуемся логарифмом. Пусть:
   y = \left(3x - 5\right)^{\frac{2x}{x^2 - 4}}.
   Тогда:
   \ln y = \frac{2x}{x^2 - 4} \cdot \ln(3x - 5).

   Теперь найдём предел логарифма:
   \lim_{x \to 2} \ln y = \lim_{x \to 2} \frac{2x \cdot \ln(3x - 5)}{x^2 - 4}.

3. Разложение в числителе и знаменателе:

   • Разложим 3x - 5 в окрестности x = 2:
     3x - 5 = 1 + (3x - 6) = 1 + 3(x - 2).
     Тогда:
     \ln(3x - 5) \approx \ln(1 + 3(x-2)) \approx 3(x-2),
     так как для малых t справедливо \ln(1 + t) \approx t.

   • Подставим это в числитель:
     2x \cdot \ln(3x - 5) \approx 2 \cdot 2 \cdot 3(x - 2) = 12(x - 2).

   • Разложим знаменатель x^2 - 4:
     x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).

     Тогда:
     \frac{2x \cdot \ln(3x - 5)}{x^2 - 4} \approx \frac{12(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{12}{x + 2}.

4. Вычисление предела:

   При x \to 2:
   \frac{12}{x + 2} \to \frac{12}{2 + 2} = \frac{12}{4} = 3.

   Таким образом:
   \ln y \to 3.
   Следовательно:
   y = e^3.

Ответ:

\lim_{x \to 2} \left(3x - 5\right)^{\frac{2x}{x^2 - 4}} = e^3.