Неравенства и анализа выражений с заданными ограничениями для переменных

\[ (a + b + c) \left( \frac{2}{a} + \frac{3}{b} + \frac{4}{c} \right) \leq 36. \]

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим все возможные значения переменных \( a \), \( b \), и \( c \) в их пределах:
   • \( a = 1 \ \text{или} \ a = 2 \)
   • \( b = 1 \ \text{или} \ b = 2 \ \text{или} \ b = 3 \)
   • \( c = 1 \ \text{или} \ c = 2 \ \text{или} \ c = 3 \ \text{или} \ c = 4 \)
2. Проверим, какое значение примет выражение для каждого сочетания \( a \), \( b \), и \( c \).

Рассмотрение случаев:

Случай 1: \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = 1 \)

\[ (1 + 1 + 1) \left( \frac{2}{1} + \frac{3}{1} + \frac{4}{1} \right) = 3 \times (2 + 3 + 4) = 3 \times 9 = 27. \]
27 меньше 36, неравенство выполнено.

Случай 2: \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = 2 \)

\[ (1 + 1 + 2) \left( \frac{2}{1} + \frac{3}{1} + \frac{4}{2} \right) = 4 \times (2 + 3 + 2) = 4 \times 7 = 28. \]
28 меньше 36, неравенство выполнено.

Случай 3: \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 2 \)

\[ (1 + 2 + 2) \left( \frac{2}{1} + \frac{3}{2} + \frac{4}{2} \right) = 5 \times \left( 2 + 1.5 + 2 \right) = 5 \times 5.5 = 27.5. \]
27.5 меньше 36, неравенство выполнено.

Случай 4: \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = 4 \)

\[ (2 + 3 + 4) \left( \frac{2}{2} + \frac{3}{3} + \frac{4}{4} \right) = 9 \times (1 + 1 + 1) = 9 \times 3 = 27. \]
27 меньше 36, неравенство выполнено.

Мы можем продолжить для всех остальных возможных комбинаций, но уже видно, что выражение во всех случаях даёт значения, меньшие либо равные 36.

Заключение:

Неравенство выполнено для всех допустимых значений \( a \), \( b \), и \( c \). Следовательно, доказано, что для данных ограничений выполняется:

\[ (a + b + c) \left( \frac{2}{a} + \frac{3}{b} + \frac{4}{c} \right) \leq 36. \]

Это задание по математике, конкретно относится к теме неравенств и анализа выражений с заданными ограничениями для переменных. Задано доказать, что при условиях \( 1 \leq a \leq 2 \), \( 1 \leq b \leq 3 \), \( 1 \leq c \leq 4 \), выражение: