Необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (исследование функций)

Необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции:
y = x^2 + \frac{16}{x} - 16
на отрезке [1, 4].

Решение:

1. Функция и её область определения
   Функция y = x^2 + \frac{16}{x} - 16 определена на отрезке [1, 4], так как x \neq 0, а x > 0 на данном интервале.

2. Находим производную функции
   Для нахождения экстремумов вычислим производную:
    y' = \frac{d}{dx} \left(x^2 + \frac{16}{x} - 16\right). 
   Производная:
    y' = 2x - \frac{16}{x^2}. 

3. Находим критические точки
   Критические точки находятся из условия y' = 0:
    2x - \frac{16}{x^2} = 0. 
   Умножим на x^2 (при x \neq 0):
    2x^3 = 16. 
    x^3 = 8. 
    x = 2. 

   Таким образом, критическая точка: x = 2.

4. Значения функции на границах отрезка и в критической точке
   Вычислим значения функции y(x) в точках x = 1, x = 4 и x = 2:

   • Для x = 1:
      y(1) = 1^2 + \frac{16}{1} - 16 = 1 + 16 - 16 = 1. 

   • Для x = 4:
      y(4) = 4^2 + \frac{16}{4} - 16 = 16 + 4 - 16 = 4. 

   • Для x = 2:
      y(2) = 2^2 + \frac{16}{2} - 16 = 4 + 8 - 16 = -4. 

5. Сравнение значений
   На отрезке [1, 4]:

   • y(1) = 1,
   • y(4) = 4,
   • y(2) = -4.

6. Наименьшее значение: y_{\text{min}} = -4 при x = 2.
   Наибольшее значение: y_{\text{max}} = 4 при x = 4.

Ответ:

• Наименьшее значение функции: -4.
• Наибольшее значение функции: 4.