Не пользуясь правилом Лопиталя, найти пределы функций

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (пределы функций)

Задача: Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

a) Найти:

\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 + 4x^2 + 3x}

Решение:

1. Проверим поведение числителя и знаменателя при подстановке x = -3:

   • Числитель:
     x^2 + 2x - 3 = (-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0

   • Знаменатель:
     x^3 + 4x^2 + 3x = (-3)^3 + 4(-3)^2 + 3(-3) = -27 + 36 - 9 = 0

2. Мы имеем неопределенность вида \frac{0}{0}. Для её устранения попробуем разложить числитель и знаменатель на множители.

3. Разложим числитель на множители: Уравнение x^2 + 2x - 3 = 0 решается через дискриминант:
   D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16.
   Корни:
   x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2},
   x_1 = 1, \, x_2 = -3.

   Разложение:
   x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3).

4. Разложим знаменатель на множители:
   В знаменателе общий множитель x. Вынесем его:
   x^3 + 4x^2 + 3x = x(x^2 + 4x + 3).

   Разложим квадратный трёхчлен x^2 + 4x + 3:
   Корни:
   D = 4^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4,
   x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2},
   x_1 = -1, \, x_2 = -3.

   Разложение:
   x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3).

   Таким образом, знаменатель:
   x^3 + 4x^2 + 3x = x(x + 1)(x + 3).

5. Упростим дробь: \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 + 4x^2 + 3x} = \frac{(x - 1)(x + 3)}{x(x + 1)(x + 3)}.

   Сократим общий множитель (x + 3) (при x \neq -3):
   \frac{(x - 1)}{x(x + 1)}.

6. Найдём предел: Подставим x = -3 в оставшееся выражение:
   \frac{(x - 1)}{x(x + 1)} = \frac{(-3 - 1)}{-3(-3 + 1)} = \frac{-4}{-3(-2)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}.

Ответ для пункта a:
\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 + 4x^2 + 3x} = -\frac{2}{3}.

б) Найти:

\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{2x + 9} - 5}{\sqrt[3]{x - 2}}

Решение:

1. Проверим поведение числителя и знаменателя при подстановке x = 8:

   • Числитель:
     \sqrt[3]{2(8) + 9} - 5 = \sqrt[3]{25} - 5.

   • Знаменатель:
     \sqrt[3]{8 - 2} = \sqrt[3]{6}.

2. Подстановка x = 8 не даёт неопределённости, так как значение числителя и знаменателя можно вычислить напрямую.

3. Вычислим предел: Подставляем x = 8:
   \lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{2x + 9} - 5}{\sqrt[3]{x - 2}} = \frac{\sqrt[3]{25} - 5}{\sqrt[3]{6}}.

   Это конечное значение, выражение не требует дальнейших преобразований.

Ответ для пункта б:
\frac{\sqrt[3]{25} - 5}{\sqrt[3]{6}}.