Найти значения параметров, при которых заданная функция будет непрерывной на всей области определения

Предмет: Математика (Раздел: Математический анализ — Непрерывные функции).

Задание требует найти значения параметров \( a \) и \( b \), при которых заданная функция будет непрерывной на всей области определения.

Функция задана кусочно:

\[ f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{при } x \leq 1, \\ ax^2 + b, & \text{при } 1 < x \leq 3, \\ \sqrt{x+13}, & \text{при } x > 3. \end{cases} \]

Требования к непрерывности функции

Чтобы функция была непрерывной, необходимо, чтобы:

1. В точке \( x = 1 \) правая и левая части кусочной функции совпадали.
2. В точке \( x = 3 \) левая и правая части кусочной функции также совпадали.

1. Условие непрерывности в точке \( x = 1 \):

Для этого значения \( x \) должны совпадать значения функции в левом и среднем кусках при приближении к точке слева (из первого выражения) и справа (из второго выражения).

1. Слева: \[ f(1) = 1 + 1 = 2. \]
2. Справа: \[ f(1) = a \cdot 1^2 + b = a + b. \]

Приравниваем значения: \[ a + b = 2. \] Это первое уравнение.

2. Условие непрерывности в точке \( x = 3 \):

Теперь проверим точку \( x = 3 \).

1. Слева (среднее выражение): \[ f(3) = a \cdot 3^2 + b = 9a + b. \]
2. Справа: \[ f(3) = \sqrt{3 + 13} = \sqrt{16} = 4. \]

Приравниваем значения: \[ 9a + b = 4. \] Это второе уравнение.

Решаем систему уравнений:

\[ \begin{cases} a + b = 2, \\ 9a + b = 4. \end{cases} \]

Вычтем первое уравнение из второго:

\[ (9a + b) - (a + b) = 4 - 2, \]

\[ 8a = 2, \]

\[ a = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}. \]

Теперь подставим это значение \( a \) в первое уравнение:

\[ \frac{1}{4} + b = 2, \]

\[ b = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}. \]

Ответ:

Функция будет непрерывной при \( a = \frac{1}{4} \) и \( b = \frac{7}{4} \).