Найти значение производной функции

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Задание: Найти значение производной функции \( y = 5x^2 \sin(x-1) \) в точке \( x=5 \).

Для решения задачи используем правила взятия производной, включая правило произведения. Функция имеет вид:

\[ y = 5x^2 \cdot \sin(x-1) \]

Шаг 1. Взять производную функции

Правило произведения гласит:

\[ (u \cdot v)' = u'v + uv' \]

Здесь:

\[ u = 5x^2, \quad v = \sin(x-1) \]

1. Найдем \( u' \), производную \( 5x^2 \):

   \[ u' = \frac{d}{dx}(5x^2) = 10x \]

2. Найдем \( v' \), производную \( \sin(x-1) \):

   \[ v' = \frac{d}{dx}(\sin(x-1)) = \cos(x-1) \cdot \frac{d}{dx}(x-1) = \cos(x-1) \cdot 1 = \cos(x-1) \]

Теперь собираем производную \( y' \):

\[ y' = u'v + uv' = (10x) \cdot \sin(x-1) + (5x^2) \cdot \cos(x-1) \]

Шаг 2. Подставить \( x = 5 \) в производную

Подставляем \( x = 5 \) в выражение для \( y' \):

\[ y' = 10x \sin(x-1) + 5x^2 \cos(x-1) \]

\[ y'(5) = 10 \cdot 5 \cdot \sin(5-1) + 5 \cdot 5^2 \cdot \cos(5-1) \]

Упростим:

\[ y'(5) = 50 \cdot \sin(4) + 125 \cdot \cos(4) \]

Численные значения:

\[ \sin(4) \approx -0.7568, \quad \cos(4) \approx -0.6536 \]

Подставляем:

\[ y'(5) \approx 50 \cdot (-0.7568) + 125 \cdot (-0.6536) \]

\[ y'(5) \approx -37.84 - 81.7 \]

Ответ:

\[ y'(5) \approx -119.54 \]