Найти значение производной

Задание B3

Задание просит найти значение производной \(\frac{dy}{dx}\) в точке \(M(3,1)\) для функции, заданной неявно уравнением:

\[ x^2 - 4xy + 5y^2 + 2\sqrt{y} = 4 \]

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Дифференциальное исчисление" и, конкретнее, к теме нахождения производной функции, заданной неявно.

План решения:

1. Нужно найти производную \(\frac{dy}{dx}\) от неявной функции с использованием метода неявного дифференцирования.
2. После нахождения производной, нужно подставить в неё координаты точки \(M(3, 1)\), чтобы вычислить значение производной в этой точке.

Шаг 1: Нахождение производной с использованием неявного дифференцирования.

Запишем исходное выражение:

\[ x^2 - 4xy + 5y^2 + 2\sqrt{y} = 4 \]

Теперь дифференцируем обе части уравнения по \(x\), не забывая о том, что \(y\) зависит от \(x\) (используем правило цепочки там, где нужно).

1. Производная от \(x^2\) по \(x\): \[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]
2. Производная от \(-4xy\) по \(x\) (используем правило произведения): \[ \frac{d}{dx}(-4xy) = -4 \left( \frac{d}{dx}(x) \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} \right) = -4(y + x\frac{dy}{dx}) \]
3. Производная от \(5y^2\) по \(x\): \[ \frac{d}{dx}(5y^2) = 5 \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 10y \cdot \frac{dy}{dx} \]
4. Производная от \(2\sqrt{y}\) по \(x\) (используем правило цепочки): \[ \frac{d}{dx}\left( 2\sqrt{y} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} \]
5. Производная от постоянного числа \(4\) по \(x\): \[ \frac{d}{dx}(4) = 0 \]

Теперь соберём все производные в одно уравнение:

\[ 2x - 4(y + x \frac{dy}{dx}) + 10y \frac{dy}{dx} + \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \]

Шаг 2: Упрощение уравнения.

Раскроем скобки в уравнении:

\[ 2x - 4y - 4x \frac{dy}{dx} + 10y \frac{dy}{dx} + \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \]

Сгруппируем слагаемые, содержащие \(\frac{dy}{dx}\):

\[ 2x - 4y + \left( -4x + 10y + \frac{1}{\sqrt{y}} \right) \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \]

Выразим \(\frac{dy}{dx}\):

\[ \left( -4x + 10y + \frac{1}{\sqrt{y}} \right) \cdot \frac{dy}{dx} = 4y - 2x \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{4y - 2x}{-4x + 10y + \frac{1}{\sqrt{y}}} \]

Шаг 3: Подстановка точки \(M(3, 1)\).

Подставим \(x = 3\) и \(y = 1\) в выражение для \(\frac{dy}{dx}\):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{4(1) - 2(3)}{-4(3) + 10(1) + \frac{1}{\sqrt{1}}} = \frac{4 - 6}{-12 + 10 + 1} = \frac{-2}{-1} = 2 \]

Ответ:

Значение производной \(\frac{dy}{dx}\) в точке \(M(3, 1)\) равно \(2\).