Найти значение переменной a, при котором выполнено данное равенство интегралов

Это задание по математике, а именно по разделу "многократные интегралы" или "двойные интегралы".

Требуется найти значение переменной \(a\), при котором выполнено данное равенство интегралов. Рассмотрим каждое слагаемое в данном уравнении: \[\int_{-6/5}^{0} \int_{-3x}^{2x+6} f(x, y) \, dy \, dx = \int_{0}^{a} \int_{-y/3}^{0} f(x, y) \, dx \, dy + \int_{a}^{6} \int_{(y-6)/2}^{0} f(x, y) \, dx \, dy.\]

Слева от знака равенства интеграл рассматривается по области, ограниченной линиями \(y = -3x\) и \(y = 2x + 6\) в пределах от \(x = -6/5\) до \(x = 0\). Справа находятся два интеграла, которые нужно сложить.

• Первый интеграл в правой части имеет пределы для \(y\) от 0 до \(a\), а для \(x\) от \(-y/3\) до 0.
• Второй интеграл на правой части имеет пределы для \(y\) от \(a\) до 6, а для \(x\) от \((y-6)/2\) до 0.

Основная идея заключается в выделении общей области интегрирования и подстановке \(a\) таким образом, чтобы уравнять области интегрирования с правой и левой частью равенства. Для симметрии и уравнивания интегралов давайте исследуем точки пересечения.

Линии \(y = -3x\) и \(y = 2x+6\) пересекаются при:

\[ -3x = 2x + 6 \]

\[ 5x = -6 \]

\[ x = -\frac{6}{5} \]

\[ y = -3 \left( -\frac{6}{5} \right) = \frac{18}{5} = 3.6 \]

Таким образом, \(a = 6\). Это значение \(y\) при котором левые и правые области интегрирования станут равными. Числовой ответ: \(a = 6\).