Найти значение коэффициента m так, чтобы функция f(x) была плотностью вероятности

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — определённые интегралы, нормировка функции

Условие задачи:

Дана кусочно-заданная функция:

 f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a, \ me^{kx}, & a < x \leq b, \ 0, & x > b. \end{cases} 

Нужно найти значение коэффициента m так, чтобы функция f(x) была плотностью вероятности, то есть:

 \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 

Подставим данные для варианта 27:

Из таблицы:

• a = 1
• b = 2
• k = 3

Функция принимает ненулевое значение только на промежутке (1, 2], поэтому интеграл можно записать как:

 \int_{1}^{2} me^{3x} \, dx = 1 

Решим интеграл:

Вынесем m за знак интеграла:

 m \int_{1}^{2} e^{3x} \, dx = 1 

Вычислим интеграл:

 \int_{1}^{2} e^{3x} \, dx = \left[\frac{1}{3} e^{3x} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{3}(e^{6} - e^{3}) 

Подставим в уравнение:

 m \cdot \frac{1}{3}(e^{6} - e^{3}) = 1 

Выразим m:

 m = \frac{3}{e^{6} - e^{3}} 

Ответ:

 m = \frac{3}{e^{6} - e^{3}} 

Если нужно численное значение:

 e^{3} \approx 20.0855,\quad e^{6} \approx 403.429 

 m \approx \frac{3}{403.429 - 20.0855} = \frac{3}{383.3435} \approx 0.00783 

✅ Ответ:
m = \frac{3}{e^{6} - e^{3}} \approx 0.00783