Найти высоту конуса, при которой его объем достигает максимального значения

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Экстремумы функций)

Решение:

1. Постановка задачи: В шар радиуса [R = 6] вписан прямой круговой конус. Необходимо найти высоту конуса [h], при которой его объем [V] достигает максимального значения.

2. Формула объема конуса: Объем конуса выражается формулой: V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,
   где [r] — радиус основания конуса, [h] — высота конуса.

3. Связь радиуса основания [r] и высоты [h]: Конус вписан в шар радиуса [R]. Если провести ось конуса через центр шара, то высота конуса [h] и радиус основания [r] связаны с радиусом шара [R] через прямоугольный треугольник.
   Рассмотрим треугольник, где:

   • Гипотенуза равна диаметру основания шара: [2R = 12],
   • Один катет — это [h - R],
   • Второй катет — это [r].

4. По теореме Пифагора: r^2 + (h - R)^2 = R^2.

   Подставим [R = 6]: r^2 + (h - 6)^2 = 36.

   Выразим [r^2]: r^2 = 36 - (h - 6)^2.

5. Функция объема: Подставим [r^2] в формулу объема: V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (36 - (h - 6)^2) h.

   Раскроем скобки: V = \frac{\pi}{3} \left[36h - h(h - 6)^2\right].

6. Производная функции: Для нахождения экстремума найдем производную функции объема [V(h)] по [h].
   V = \frac{\pi}{3} \left[36h - h(h^2 - 12h + 36)\right].

   Упростим: V = \frac{\pi}{3} \left[36h - (h^3 - 12h^2 + 36h)\right].
   V = \frac{\pi}{3} \left[-h^3 + 12h^2\right].

   Производная: V'(h) = \frac{\pi}{3} \left[-3h^2 + 24h\right].

7. Нахождение критических точек: Приравняем производную к нулю: V'(h) = \frac{\pi}{3} \left[-3h^2 + 24h\right] = 0.

   Разделим на [\frac{\pi}{3}] и вынесем [h]: h(-3h + 24) = 0.

   Решения: h = 0 или h = 8.

   Высота [h = 0] не подходит, так как объем конуса будет равен нулю. Значит, [h = 8].

8. Проверка на максимум: Найдем вторую производную: V''(h) = \frac{\pi}{3} \left[-6h + 24\right].

   Подставим [h = 8]: V''(8) = \frac{\pi}{3} \left[-6(8) + 24\right] = \frac{\pi}{3}(-48 + 24) = -\frac{24\pi}{3} < 0.

   Вторая производная отрицательна, значит, [h = 8] — точка максимума.

9. Ответ: Высота конуса, при которой его объем максимален:
   h = 8.