Найти выражение

Данное задание относится к предмету "Математика", разделу "Математический анализ", тема — производные.

Разберем 9-е задание:

Нужно найти выражение для \( \text{d}y \), где функция задается так:

\[ \ln(1+e^y) = y - x. \]

Шаг 1. Найдем производные обеих частей по \( x \).

Уравнение:

\[ \ln(1+e^y) = y - x. \]

1. Производная левой части:

\[ \frac{d}{dx} \ln(1+e^y) = \frac{1}{1+e^y} \cdot e^y \cdot \frac{dy}{dx}. \]

Это происходит из-за цепного правила:

\[ \frac{d}{d y} \ln(1 + e^y) = \frac{1}{1 + e^y} \quad \text{и далее} \quad \frac{d}{dx}(e^y) = e^y \cdot \frac{dy}{dx}. \]

Итак, производная левой части равна:

\[ \frac{e^y}{1 + e^y} \cdot \frac{dy}{dx}. \]

2. Производная правой части:

\[ \frac{d}{dx}(y - x) = \frac{dy}{dx} - 1. \]

Итого:

\[ \frac{e^y}{1 + e^y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1. \]

Шаг 2. Найдем выражение для \( \frac{dy}{dx} \).

Переносим все слагаемые с \( \frac{dy}{dx} \) в одну часть уравнения:

\[ \frac{e^y}{1 + e^y} \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = -1. \]

Вынесем \( \frac{dy}{dx} \) за скобки:

\[ \frac{dy}{dx} \left( \frac{e^y}{1 + e^y} - 1 \right) = -1. \]

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

\[ \frac{e^y}{1 + e^y} - 1 = \frac{e^y - (1 + e^y)}{1 + e^y} = \frac{-1}{1 + e^y}. \]

Подставим это обратно в уравнение:

\[ \frac{dy}{dx} \cdot \frac{-1}{1 + e^y} = -1. \]

Умножим обе части уравнения на \( -(1 + e^y) \):

\[ \frac{dy}{dx} = 1 + e^y. \]

Ответ: