Найти вторые частные производные

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Частные производные)

Решение пункта 3: Найти вторые частные производные функции

Дана функция:

 f(x, y) = x^3y^2 + xy + e^x 

Нам нужно найти вторые частные производные, то есть:

1.  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} 
2.  \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} 
3.  \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} 
4.  \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} 

Шаг 1: Найдём первые частные производные

Частная производная по x:

Берём производную по  x , считая  y  константой:

 \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^3y^2 + xy + e^x) 

Используем правила дифференцирования:

• Производная  x^3y^2  по  x :
   \frac{\partial}{\partial x} (x^3y^2) = 3x^2y^2 
  (так как  y^2  — константа)

• Производная  xy  по  x :
   \frac{\partial}{\partial x} (xy) = y 

• Производная  e^x  по  x :
   \frac{\partial}{\partial x} (e^x) = e^x 

Таким образом, получаем:

 \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 + y + e^x 

Частная производная по y:

Берём производную по  y , считая  x  константой:

 \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^3y^2 + xy + e^x) 

• Производная  x^3y^2  по  y :
   \frac{\partial}{\partial y} (x^3y^2) = 2x^3y 
  (так как  x^3  — константа)

• Производная  xy  по  y :
   \frac{\partial}{\partial y} (xy) = x 

• Производная  e^x  по  y :
   \frac{\partial}{\partial y} (e^x) = 0 
  (так как  e^x  не зависит от  y )

Таким образом, получаем:

 \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y + x 

Шаг 2: Найдём вторые частные производные

Вторая частная производная по x:

Берём производную  \frac{\partial f}{\partial x}  по  x :

 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2y^2 + y + e^x) 

• Производная  3x^2y^2  по  x :
   \frac{\partial}{\partial x} (3x^2y^2) = 6xy^2 

• Производная  y  по  x :
   \frac{\partial}{\partial x} (y) = 0 

• Производная  e^x  по  x :
   \frac{\partial}{\partial x} (e^x) = e^x 

Таким образом, получаем:

 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6xy^2 + e^x 

Вторая частная производная по y:

Берём производную  \frac{\partial f}{\partial y}  по  y :

 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (2x^3y + x) 

• Производная  2x^3y  по  y :
   \frac{\partial}{\partial y} (2x^3y) = 2x^3 

• Производная  x  по  y :
   \frac{\partial}{\partial y} (x) = 0 

Таким образом, получаем:

 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2x^3 

Смешанная частная производная  \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} 

Берём производную  \frac{\partial f}{\partial x}  по  y :

 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2y^2 + y + e^x) 

• Производная  3x^2y^2  по  y :
   \frac{\partial}{\partial y} (3x^2y^2) = 6x^2y 

• Производная  y  по  y :
   \frac{\partial}{\partial y} (y) = 1 

• Производная  e^x  по  y :
   \frac{\partial}{\partial y} (e^x) = 0 

Таким образом, получаем:

 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 6x^2y + 1 

Смешанная частная производная  \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} 

Берём производную  \frac{\partial f}{\partial y}  по  x :

 \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^3y + x) 

• Производная  2x^3y  по  x :
   \frac{\partial}{\partial x} (2x^3y) = 6x^2y 

• Производная  x  по  x :
   \frac{\partial}{\partial x} (x) = 1 

Таким образом, получаем:

 \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 6x^2y + 1 

Так как  \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} , это подтверждает теорему о равенстве смешанных производных.