Найти вторую производную функции, заданной параметрически

Данный скриншот относится к разделу математики, а конкретно к теме производные, которая является частью математического анализа. Задание А8 просит найти вторую производную функции, заданной параметрически следующим образом: \[ x = \frac{8}{t}, \quad y = t^2 + 2t. \]

Шаг 1. Найдём первую производную \(\frac{dy}{dx}\).

Используя правило производной параметрически заданной функции, имеем: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}. \]

Найдём \(\frac{dx}{dt}\):

\[ x = \frac{8}{t},\quad \frac{dx}{dt} = -\frac{8}{t^2}. \]

Найдём \(\frac{dy}{dt}\):

\[ y = t^2 + 2t,\quad \frac{dy}{dt} = 2t + 2. \]

Теперь можем найти первую производную: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2t + 2}{-\frac{8}{t^2}} = \frac{-(2t + 2)t^2}{8} = -\frac{(2t + 2)t^2}{8}. \]

Шаг 2. Найдём вторую производную \(\frac{d^2y}{dx^2}\).

Чтобы найти вторую производную \(\frac{d^2y}{dx^2}\), сначала надо найти производную от \(\frac{dy}{dx}\) по \(t\), а затем разделить это на \(\frac{dx}{dt}\): \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(-\frac{(2t+2)t^2}{8}\right)}{\frac{dx}{dt}}. \]

Найдём \(\frac{d}{dt}\left(-\frac{(2t+2)t^2}{8}\right)\):

Для упрощения возьмём производную от выражения \( -\frac{(2t+2)t^2}{8} \) по \(t\) с помощью правила произведения: \[ \frac{d}{dt}\left((2t + 2)t^2\right) = (2t + 2)\cdot (2t) + t^2 \cdot 2 = 2t(2t+2) + 2t^2. \]

Теперь подставим это в формулу второй производной: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4t^2 + 4t + 2t^2}{-\frac{8}{t^2}} = -\frac{6t^4 + 4t^3}{8}. \]

Ответ:

Правильный ответ для второй производной: \[ \boxed{\frac{t^3(3t + 2)}{32}}. \] Это соответствует варианту 1.