Найти вторую производную функции

Данное задание относится к математическому анализу, разделу дифференцирование сложных функций. Нам нужно найти вторую производную функции \( y = \frac{u^2}{v} \), где \( u \) и \( v \) — дифференцируемые функции.

1. Поиск первой производной (\( y' \)):

Используем правило дифференцирования частного:

\[ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}. \]

В нашем случае \( f(x) = u^2 \), \( g(x) = v \).

Найдём сначала \( f'(x) \):

\[ f'(x) = (u^2)' = 2u \cdot u', \]

где \( u' \) — производная \( u \).

Теперь применим правило:

\[ y' = \frac{(u^2)' \cdot v - u^2 \cdot v'}{v^2} = \frac{2u \cdot u' \cdot v - u^2 \cdot v'}{v^2}. \]

2. Поиск второй производной (\( y'' \)):

Для нахождения \( y'' \) снова используем правило дифференцирования частного. Рассмотрим числитель и знаменатель первой производной:

\[ y' = \frac{2u \cdot u' \cdot v - u^2 \cdot v'}{v^2}. \]

Обозначим числитель за \( N = 2u \cdot u' \cdot v - u^2 \cdot v' \), а знаменатель за \( D = v^2 \).

Тогда:

\[ y'' = \frac{N' \cdot D - N \cdot D'}{D^2}, \]

где:

• \( D' = (v^2)' = 2v \cdot v' \),
• \( N' \) необходимо найти.

Находим \( N' = (2u \cdot u' \cdot v - u^2 \cdot v')' \):

Разделим \( N \) на две части:

\[ N = 2u \cdot u' \cdot v - u^2 \cdot v'. \]

Первая часть: \( (2u \cdot u' \cdot v)' \):

Используем правило произведения:

\[ (2u \cdot u' \cdot v)' = (2u \cdot u')' \cdot v + (2u \cdot u') \cdot v'. \]

Распишем \( (2u \cdot u')' \):

\[ (2u \cdot u')' = 2 \cdot (u' \cdot u' + u \cdot u'') = 2 \cdot [(u')^2 + u \cdot u'']. \]

Тогда:

\[ (2u \cdot u' \cdot v)' = \Big(2 \cdot [(u')^2 + u \cdot u'']\Big) \cdot v + (2u \cdot u') \cdot v'. \]

Вторая часть: \( (u^2 \cdot v')' \):

Распишем по правилу произведения:

\[ (u^2 \cdot v')' = (u^2)' \cdot v' + u^2 \cdot (v')'. \]

Здесь:

\[ (u^2)' \cdot v' = 2u \cdot u' \cdot v', \quad u^2 \cdot (v')' = u^2 \cdot v''. \]

Таким образом:

\[ (u^2 \cdot v')' = 2u \cdot u' \cdot v' + u^2 \cdot v''. \]

Теперь найдём полный \( N' \):

\[ N' = (2u \cdot u' \cdot v)' - (u^2 \cdot v')' = \]

\[ = \Big(2 \cdot [(u')^2 + u \cdot u''] \cdot v + 2u \cdot u' \cdot v'\Big) - \Big(2u \cdot u' \cdot v' + u^2 \cdot v''\Big). \]

Упростим:

\[ N' = 2 \cdot [(u')^2 + u \cdot u''] \cdot v + 2u \cdot u' \cdot v' - 2u \cdot u' \cdot v' - u^2 \cdot v''. \]

Сокращаем \( 2u \cdot u' \cdot v' \):

\[ N' = 2 \cdot [(u')^2 + u \cdot u''] \cdot v - u^2 \cdot v''. \]

Теперь найдём \( y'' \):

Подставляем \( N' \) и \( D' \):

\[ y'' = \frac{N' \cdot D - N \cdot D'}{D^2}. \]

Где:

• \( N' = 2 \cdot [(u')^2 + u \cdot u''] \cdot v - u^2 \cdot v'' \),
• \( D = v^2, \quad D' = 2v \cdot v' \).

Итак, итоговое выражение получается следующим образом:

\[ y'' = \frac{\Big(2 \cdot [(u')^2 + u \cdot u''] \cdot v - u^2 \cdot v''\Big) \cdot v^2 - (2u \cdot u' \cdot v - u^2 \cdot v') \cdot (2v \cdot v')}{v^4}. \]

Для удобства можно дальше попытаться раскрыть скобки и упростить, но уже на данном этапе видно, что выражение для \( y'' \) будет достаточно громоздким.