Найти все комплексные числа

Данный вопрос относится к предмету математический анализ, и в частности к теме комплексных чисел.

Задание 2: Найти все комплексные числа \( \sqrt[3]{8i} \)

Решение:

Чтобы найти все значения кубического корня из комплексного числа, вспомним, что каждое комплексное число можно записать в тригонометрической (показательной) форме. Общий вид кубических корней из комплексного числа имеет вид (по формуле Муавра).

1. Переведем \( 8i \) в полярную форму.
   Комплексное число \( 8i \) можно представить в виде \( z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) \), где:
   • \( r \) — модуль числа,
   • \( \varphi \) — аргумент числа.

   Расчитаем модуль: \[ r = |8i| = 8 \]

   Теперь найдём аргумент. Так как \( 8i \) находится на мнимой оси (это чисто мнимое число), его угол — \( \frac{\pi}{2} \), так как он направлен вертикально вверх.

   Итак, \( z = 8(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) \).

2. Формула для кубических корней.
   Формула Муавра для нахождения корней числа \(\sqrt[3]{r (\cos \varphi + i \sin \varphi)}\) выглядит следующим образом: \[ z_k = \sqrt[3]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{3} + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}{3} \right) \] где \( k = 0, 1, 2 \), то есть мы ищем три корня.
3. Находим корни.
   • Модуль корня: \( \sqrt[3]{r} = \sqrt[3]{8} = 2 \).
   • Аргумент корня находим для каждого значения \( k \). Напомним, что \( \varphi = \frac{\pi}{2} \).

   Теперь найдём аргументы для каждого \( k \):

   • \[ \varphi_0 = \frac{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot 0 \cdot \pi}{3} = \frac{\pi}{6} \]
   • \[ \varphi_1 = \frac{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot 1 \cdot \pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \]
   • \[ \varphi_2 = \frac{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot 2 \cdot \pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \]

   Теперь запишем все три корня:

   • \[ z_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = \sqrt{3} + i \]
   • \[ z_1 = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -\sqrt{3} + i \]
   • \[ z_2 = 2 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \left( 0 + i (-1) \right) = -2i \]

Ответ:

Все комплексные корни \( \sqrt[3]{8i} \) это:

\[ z_0 = \sqrt{3} + i, \quad z_1 = -\sqrt{3} + i, \quad z_2 = -2i \]