Найти вертикальные асимптоты

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (исследование функции, асимптоты)

Дано уравнение функции из задания 3:
 y = x + \ln x - 1 

1. Найдём вертикальные асимптоты

Вертикальные асимптоты возникают там, где функция стремится к бесконечности при приближении аргумента к определённому значению.

Функция  y = x + \ln x - 1  определена при  x > 0 , так как логарифм определён только для положительных значений  x .

Исследуем поведение функции при FORMULAPLACEHOLDER:
 [ \lim\limits{x \to 0^+} \left( x + \ln x - 1 \right) = -\infty ] Следовательно, вертикальная асимптота находится при  x \to 0^+ .

2. Найдём наклонные и горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты определяются как предел функции при  x = 0 .

Исследуем предел при FORMULAPLACEHOLDER:
 [ \lim\limits{x \to +\infty} (x + \ln x - 1) = +\infty ] Так как функция стремится к бесконечности, горизонтальной асимптоты нет.

Проверим наличие наклонной асимптоты FORMULAPLACEHOLDER.
Коэффициент наклона:
 [ k = \lim\limits{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim\limits{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{\ln x - 1}{x} \right) = 1 ] Свободный член:
 [ b = \lim\limits{x \to +\infty} (y - kx) = \lim\limits{x \to +\infty} (x + \ln x - 1 - x) = \lim\limits{x \to +\infty} (\ln x - 1) = +\infty ] Так как  x \to \pm\infty , наклонной асимптоты тоже нет.

Итог:

Единственная асимптота — вертикальная при  x \to +\infty .