Найти в точке

Это задание относится к предмету математика, разделу математический анализ, тема производные и их применение.

Решим задание №6:

Задание: Найти \( y^{\prime\prime} \) в точке \( x_0 = 1 \), если:

\[ \begin{cases} x = e^t + t \\ y = t^3 \end{cases} \]

Шаг 1: Найдем первую производную \( \frac{dy}{dx} \), используя параметр \( t \).

Производные по \( t \):

\[ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^t + t) = e^t + 1, \]

\[ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^2. \]

Теперь используем формулу для производной параметрически заданной функции:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}. \]

Подставим выражения:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{e^t + 1}. \]

Шаг 2: Найдем вторую производную \( \frac{d^2y}{dx^2} \).

Для нахождения второй производной используем правило дифференцирования сложной функции:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dx} \right) \cdot \frac{dt}{dx}. \]

1. Дифференцируем \( \frac{dy}{dx} \) по \( t \):

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{3t^2}{e^t + 1} \right). \]

Используем правило производной частного:

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}, \]

где \( u = 3t^2 \) и \( v = e^t + 1 \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \) по \( t \):

\[ u' = \frac{d}{dt}(3t^2) = 6t, \quad v' = \frac{d}{dt}(e^t + 1) = e^t. \]

Теперь вычислим производную:

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{3t^2}{e^t + 1} \right) = \frac{6t(e^t + 1) - 3t^2 e^t}{(e^t + 1)^2}. \]

2. Умножим на \( \frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}} \):

\[ \frac{dt}{dx} = \frac{1}{e^t + 1}. \]

Таким образом,

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{6t(e^t + 1) - 3t^2 e^t}{(e^t + 1)^2}}{e^t + 1}. \]

Упростим:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{6t(e^t + 1) - 3t^2 e^t}{(e^t + 1)^3}. \]

Шаг 3: Найдем значение при \( x_0 = 1 \).

Точкe \( x_0 = 1 \) соответствует \( t \). По уравнению для \( x \):

\[ x = e^t + t. \]

Для \( x_0 = 1 \):

\[ 1 = e^t + t. \]

Решить это уравнение аналитически сложно, но численно можно показать, что при \( t \approx 0 \), \( x \approx 1 \). Следовательно, \( t = 0 \).

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{6 \cdot 0 (e^0 + 1) - 3 \cdot 0^2 \cdot e^0}{(e^0 + 1)^3} = 0. \]

Ответ:

\[ y^{\prime\prime} = 0 \; \text{при} \; x_0 = 1. \]

Подставим \( t = 0 \) в выражение для второй производной: