Найти условие, при котором интеграл равен

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Неопределённые интегралы

Задание:

Найти условие, при котором интеграл

∫ \frac{dx}{\sqrt{c - 4x - x^2}}

равен

\arcsin\left(\frac{x + 2}{p}\right) + C

Шаг 1: Преобразуем подынтегральное выражение

В знаменателе подкоренное выражение:
c - 4x - x^2

Перепишем его, приведя к квадрату:

 \begin{align*} c - 4x - x^2 &= -x^2 - 4x + c \ &= -(x^2 + 4x - c) \ &= -\left[(x + 2)^2 - (c + 4)\right] \end{align*} 

Таким образом, подынтегральное выражение становится:

 \frac{dx}{\sqrt{-(x + 2)^2 + (c + 4)}} 

или

 \frac{dx}{\sqrt{(c + 4) - (x + 2)^2}} 

Шаг 2: Используем стандартную формулу интегрирования

Напомним, что:

 \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C 

В нашем случае:

 x \rightarrow (x + 2), \quad a^2 = c + 4 

Следовательно, интеграл принимает вид:

 \int \frac{dx}{\sqrt{(c + 4) - (x + 2)^2}} = \arcsin\left( \frac{x + 2}{\sqrt{c + 4}} \right) + C 

Шаг 3: Сравниваем с данным выражением

Нам сказано, что результат интегрирования равен:

 \arcsin\left(\frac{x + 2}{p}\right) + C 

Значит, должно выполняться:

 \sqrt{c + 4} = p 

Ответ:

[c + 4 = p^2] — это условие, при котором данный интеграл равен указанному выражению.