Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Предмет: Математический анализ

Раздел: Дифференцирование функций, уравнение касательной

Условие:

Найти уравнение касательной к графику функции \( y = (7 - 3x)^3 \) в точке с абсциссой \( x_0 = 2 \).

Разбор задания:

Формула для уравнения касательной к графику функции в точке \( x_0 \) имеет вид:

\[ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0), \]

где:

• \( f'(x_0) \) — значение производной функции в точке \( x_0 \),
• \( f(x_0) \) — значение функции в точке \( x_0 \).

Шаг 1: Найдем значение функции \( f(x) \) в точке \( x_0 = 2 \).

Функция задана как:

\[ f(x) = (7 - 3x)^3. \]

Подставим \( x_0 = 2 \):

\[ f(2) = (7 - 3 \cdot 2)^3 = (7 - 6)^3 = 1^3 = 1. \]

Итак, \( f(2) = 1 \).

Шаг 2: Найдем производную функции \( f(x) \).

Функция \( f(x) = (7 - 3x)^3 \).

Используем правило цепочки:

\[ f'(x) = 3(7 - 3x)^2 \cdot (-3), \]

\[ f'(x) = -9(7 - 3x)^2. \]

Шаг 3: Найдем значение \( f'(x) \) в точке \( x_0 = 2 \).

Подставим \( x_0 = 2 \) в \( f'(x) = -9(7 - 3x)^2 \):

\[ f'(2) = -9(7 - 3 \cdot 2)^2 = -9(7 - 6)^2 = -9 \cdot 1^2 = -9. \]

Итак, \( f'(2) = -9 \).

Шаг 4: Подставим значения в уравнение касательной.

Формула уравнения:

\[ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). \]

Подставим \( f'(2) = -9 \), \( f(2) = 1 \), \( x_0 = 2 \):

\[ y = -9(x - 2) + 1, \]

\[ y = -9x + 18 + 1, \]

\[ y = -9x + 19. \]

Ответ:

Уравнение касательной имеет вид:

\[ y = -9x + 19. \]

Проверим предложенные варианты ответа. Поскольку уравнения совпадают с данным, выбор:

\( a: y = 17 - 9x \).