Найти уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой

Предмет: Математика (Математический анализ)

Раздел: Дифференциальное исчисление, касательная к графику функции

Условие задачи:

Дана функция: \[ y = \frac{x^2 + 1}{x}. \] Найти уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой \(x_0 = 2\).

Шаг 1. Найдем производную функции \(y'(x)\).

Упростим заданную функцию \(y\):

\[ y = \frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x}. \]

Найдем производную:

\[ y'(x) = \frac{d}{dx}(x + \frac{1}{x}) = 1 - \frac{1}{x^2}. \]

Шаг 2. Найдем значение производной в точке \(x_0 = 2\).

Подставим \(x = 2\) в \(y'(x)\):

\[ y'(2) = 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}. \]

Итак, наклон касательной (коэффициент \(k\)) равен:

\[ k = \frac{3}{4}. \]

Шаг 3. Найдем значение функции в точке \(x_0 = 2\).

Подставим \(x = 2\) в \(y(x)\):

\[ y(2) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}. \]

Шаг 4. Запишем уравнение касательной в общем виде.

Уравнение касательной имеет вид:

\[ y - y_0 = k(x - x_0), \]

где \(y_0 = \frac{5}{2}\), \(x_0 = 2\), \(k = \frac{3}{4}\). Подставляем:

\[ y - \frac{5}{2} = \frac{3}{4}(x - 2). \]

Раскроем скобки:

\[ y - \frac{5}{2} = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}. \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ 4y - 10 = 3x - 6. \]

Приведем к стандартному виду:

\[ 4y - 3x - 4 = 0. \]

Шаг 5. Сравним с вариантами ответа.

Соответствующий вариант:

\[ \mathbf{b. \, 4y - 3x - 4 = 0.} \]

Ответ:

b. \(4y - 3x - 4 = 0.\)