Найти уравнение касательной и нормали к кривой в точке М(0;1)

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия

Найдем уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнением:

x^2 + y^2 - 4x = 1

в точке M(0; 1).

Шаг 1. Проверка принадлежности точки кривой

Подставим координаты точки M(0; 1) в уравнение кривой:

0^2 + 1^2 - 4 \cdot 0 = 1.

Получаем:

1 = 1.

Точка действительно принадлежит кривой.

Шаг 2. Найдем производную (угловой коэффициент касательной)

Для нахождения углового коэффициента касательной нужно найти производную \frac{dy}{dx}. Дифференцируем уравнение кривой:

x^2 + y^2 - 4x = 1.

Продифференцируем обе части по x, учитывая, что y — функция от x (y = y(x)):

\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) - \frac{d}{dx}(4x) = \frac{d}{dx}(1).

Рассчитаем производные:

2x + 2y \frac{dy}{dx} - 4 = 0.

Выразим \frac{dy}{dx}:

2y \frac{dy}{dx} = 4 - 2x.

\frac{dy}{dx} = \frac{4 - 2x}{2y}.

Шаг 3. Подставим координаты точки M(0; 1)

В точке M(0; 1):

x = 0, \, y = 1.

Подставляем в формулу для производной:

\frac{dy}{dx} = \frac{4 - 2 \cdot 0}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2.

Угловой коэффициент касательной равен k = 2.

Шаг 4. Уравнение касательной

Уравнение касательной имеет вид:

y - y_0 = k(x - x_0),

где (x_0, y_0) — координаты точки касания, а k — угловой коэффициент.

Подставляем (x_0, y_0) = (0, 1) и k = 2:

y - 1 = 2(x - 0).

Упростим:

y = 2x + 1.

Шаг 5. Уравнение нормали

Угловой коэффициент нормали k_{\text{норм}} связан с угловым коэффициентом касательной k следующим образом:

k \cdot k_{\text{норм}} = -1.

Подставляем k = 2:

2 \cdot k_{\text{норм}} = -1,

k_{\text{норм}} = -\frac{1}{2}.

Уравнение нормали имеет вид:

y - y_0 = k_{\text{норм}}(x - x_0).

Подставляем (x_0, y_0) = (0, 1) и k_{\text{норм}} = -\frac{1}{2}:

y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0).

Упростим:

y = -\frac{1}{2}x + 1.

Ответ:

1. Уравнение касательной: y = 2x + 1.
2. Уравнение нормали: y = -\frac{1}{2}x + 1.