Найти уравнение касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой

Задание относится к предмету математика, разделу дифференциальное исчисление, а точнее к теме нахождения касательных и нормалей к графикам функций на основе производных.

Задача 12.1: Найти уравнение касательной и нормали к графику функции \( y = x\sqrt{1 - x} \) в точке с абсциссой \( x_0 = 9 \).

1. Производная функции \( y = f(x) \)

Для начала найдем производную функции \( y = x\sqrt{1 - x} \). Распишем функцию через произведение:

\[ y(x) = x \cdot (1 - x)^{1/2}. \]

Для нахождения производной используем правило произведения:

\[ \left( u(x) \cdot v(x) \right)' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x), \]

где \( u(x) = x \), а \( v(x) = (1 - x)^{1/2} \).

Производная \( u(x) = x \):

\[ u'(x) = 1. \]

Производная \( v(x) = (1 - x)^{1/2} \) по правилу цепной производной:

\[ v'(x) = \frac{1}{2}(1 - x)^{-1/2} \cdot (-1) = \frac{-1}{2\sqrt{1 - x}}. \]

Теперь находим общую производную \( y'(x) \):

\[ y'(x) = 1 \cdot \sqrt{1 - x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{1 - x}}. \]

Приведем к общему виду:

\[ y'(x) = \frac{2(1 - x) - x}{2\sqrt{1 - x}} = \frac{2 - 2x - x}{2\sqrt{1 - x}} = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1 - x}}. \]

2. Производная в точке \( x_0 = 9 \)

Подставляем \( x_0 = 9 \) в производную:

\[ y'(9) = \frac{2 - 3 \cdot 9}{2\sqrt{1 - 9}} = \frac{2 - 27}{2\sqrt{-8}}. \]

Так как подкоренное выражение отрицательно, функция не определена для \( x_0 = 9 \). Следовательно, найти уравнение касательной и нормали в данной точке невозможно, так как точка не принадлежит области определения функции.

Ответ:

Функция \( y = x\sqrt{1 - x} \) не определена в точке \( x_0 = 9. \)