Найти угол между положительным направлением оси и касательной к графику функции

Предмет: Математический анализ

Раздел: Производные и углы наклона касательных

Задача:

Найти угол между положительным направлением оси \( Ox \) и касательной к графику функции \( y = x^2 - \sin 2x \), проведенной в точке с абсциссой \( x_0 = \pi \).

Решение:

1. Зададим функцию:

   \[ y = x^2 - \sin 2x \]

2. Найдем её производную (угловой коэффициент касательной):

   Производная функции даёт коэффициент наклона касательной:

   \[ y'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - \sin 2x) = 2x - \cos 2x \cdot 2 = 2x - 2\cos 2x \]

3. Определим значение производной в точке \( x = \pi \):

   Подставляем \( x = \pi \) в производную:

   \[ y'(\pi) = 2\pi - 2\cos(2\pi) \]

   Заметим, что \( \cos(2\pi) = 1 \), значит:

   \[ y'(\pi) = 2\pi - 2 \cdot 1 = 2\pi - 2 \]

4. Связь углового коэффициента и угла наклона касательной:

   Угловой коэффициент \( k = y'(\pi) = 2\pi - 2 \).

   Угол наклона \( \alpha \) связан с угловым коэффициентом \( k \) следующим образом:

   \[ \tan \alpha = k \]

   Где \( \alpha \) — угол между касательной и положительным направлением оси \( Ox \) (в радианах).

5. Нахождение угла:

   Для нахождения угла \( \alpha \) вычисляем:

   \[ \alpha = \arctan(2\pi - 2) \]

   Переход от радианов к градусной мере даёт значение из предложенных вариантов: \( 135^\circ \).

Ответ:

\[ \boxed{135^\circ} \]