Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой

Предмет и раздел: Математика, раздел "Производная. Применение производной к исследованию функций."

Задача:

Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции \(y = 3 \cos x - 2x\), в точке с абсциссой \(x_0 = \frac{\pi}{2}\).

Решение:

1. Что такое угловой коэффициент касательной?

   Угловой коэффициент касательной в точке является значением производной функции \(y'(x)\) в этой точке. Итак, нам нужно найти производную \(y'(x)\), а затем подставить \(x_0 = \frac{\pi}{2}\).

2. Находим первую производную функции:

   \[ y = 3 \cos x - 2x \]

   Применяем правило дифференцирования:

   • Производная \( \cos x \) равна \( -\sin x \),
   • Производная \( -2x \) равна \( -2 \).
   Производная \(y'(x)\) будет равна:

   \[ y'(x) = 3(-\sin x) - 2 = -3 \sin x - 2. \]

3. Вычисляем \(y'(x_0)\):

   Подставляем \(x_0 = \frac{\pi}{2}\) в \(y'(x)\):

   \[ y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2. \]

   Зная, что \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\), получаем:

   \[ y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3 \cdot 1 - 2 = -3 - 2 = -5. \]

4. Ответ:

   Угловой коэффициент касательной равен:

   \[ \boxed{-5}. \]

Если остались вопросы или нужно больше объяснений, дайте знать!