Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой

Предмет: Математический анализ

Раздел: Производные. Угловой коэффициент касательной (производная функции в данной точке).

Дано уравнение функции: \[ y = 7x - 5\sin x \]

Нужно найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой \(x_0 = \frac{\pi}{2}\).

Решение:

1. Угловой коэффициент касательной в точке определяется значением производной функции \(y'(x)\) в данной точке.
2. Найдем производную функции: \[ y = 7x - 5\sin x \]
   Производную возьмем по правилам дифференцирования. Производная суммы равна сумме производных:
   \[ y'(x) = \frac{d}{dx}(7x) - \frac{d}{dx}(5\sin x) \]

   Рассчитаем каждую из производных:

   • Производная от \(7x\): \(\frac{d}{dx}(7x) = 7\).
   • Производная от \(-5\sin x\): \-5 \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = -5\cos x\).

   Совмещаем все части:

   \[ y'(x) = 7 - 5\cos x \]
3. Подставим \(x_0 = \frac{\pi}{2}\) в \(y'(x)\):
   \[ y' \left(\frac{\pi}{2}\right) = 7 - 5\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \]
   Заметим, что \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\):
   \[ y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 7 - 5 \cdot 0 = 7. \]

Ответ:

Угловой коэффициент касательной \(\k = 7\).