Найти у', еслиy = arcsin(2x^2)y =x/sin(1 - In x)y=(1+x)^x^2

Давайте разберём каждый из данных примеров пошагово, найдём производную \( y' \) и объясним процесс выполнения.

Пример 1: \( y = \arcsin(2x^2) \)

Данный пример относится к математике, а именно к разделу математического анализа, подразделу дифференциального исчисления.

1. Для нахождения производной функции \( y = \arcsin(2x^2) \) применяем правило цепочки.
2. Вначале находим производную внешней функции \( \arcsin(u) \), где \( u = 2x^2 \), по переменной \( u \). \[ \frac{d(\arcsin(u))}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \]
3. Теперь находим производную внутренней функции \( 2x^2 \) по \( x \). \[ \frac{d(2x^2)}{dx} = 4x \]
4. Теперь применяем правило цепочки: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x^2)^2}} \cdot \frac{d(2x^2)}{dx} \]
5. Подставляем производную внутренней функции: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{4x}{\sqrt{1 - 4x^4}} \]

Итак, \[ y' = \frac{4x}{\sqrt{1 - 4x^4}} \]

Пример 2: \( y = \frac{x}{\sin(1 - \ln x)} \)

Этот пример тоже касается математического анализа.

1. Для нахождения производной используем правило деления и производную сложной функции.
2. Пусть \( u = x \) и \( v = \sin(1 - \ln x) \). Производная каждой части: \[ \frac{du}{dx} = 1 \] \[ \frac{dv}{dx} = \cos(1 - \ln x) \cdot \frac{d(1 - \ln x)}{dx} = \cos(1 - \ln x) \cdot (-\frac{1}{x}) \] \[ \frac{dv}{dx} = - \frac{\cos(1 - \ln x)}{x} \]
3. Теперь используем правило деления: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{v \cdot \frac{du}{dx} - u \cdot \frac{dv}{dx}}{v^2} \] Подставляем значения: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(1 - \ln x) \cdot 1 - x \cdot \left(- \frac{\cos(1 - \ln x)}{x}\right)}{\sin^2(1 - \ln x)} \]
Упрощаем выражение: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(1 - \ln x) + \cos(1 - \ln x)}{\sin^2(1 - \ln x)} \]

Итак, \[ y' = \frac{\sin(1 - \ln x) + \cos(1 - \ln x)}{\sin^2(1 - \ln x)} \]

Пример 3: \( y = (1+x)^{x^2} \)

И этот пример так же относится к математическому анализу.

1. Для нахождения производной этой функции используем логарифмическое дифференцирование, так как степень также является функцией.
2. Взять натуральный логарифм по обоим сторонам: \[ \ln y = \ln ((1 + x)^{x^2}) \] \[ \ln y = x^2 \ln(1 + x) \]
3. Теперь продифференцируем обе стороны по \( x \): \[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 2x \ln(1 + x) + x^2 \cdot \frac{1}{1 + x} \]
4. Умножим обе стороны на \( y \), чтобы выразить \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx} = y \cdot \left(2x \ln(1 + x) + \frac{x^2}{1 + x}\right) \] Подставляем \( y = (1 + x)^{x^2} \): \[ \frac{dy}{dx} = (1 + x)^{x^2} \left(2x \ln(1 + x) + \frac{x^2}{1 + x}\right) \]

Итак, \[ y' = (1 + x)^{x^2} \left(2x \ln(1 + x) + \frac{x^2}{1 + x}\right) \] Все детали шагов были подробно описаны, чтобы помочь вам понять подход и методы для нахождения производных данных функций.