Найти точку z_0, в которой производная L'(z) принимает значение

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Дифференцирование)

Дано уравнение кривой Лоренца:

L(z) = \frac{(1+\sqrt{2})^z - (1+\sqrt{2})^{-z}}{2}, где z \in [0,1].

Требуется найти точку z_0, в которой производная L'(z) принимает значение:

L'(z_0) = \ln(1+\sqrt{2}).

1. Найдём производную L'(z):

Рассмотрим функцию:
L(z) = \frac{(1+\sqrt{2})^z - (1+\sqrt{2})^{-z}}{2}.

Дифференцируем по z:

 L'(z) = \frac{d}{dz} \left( \frac{(1+\sqrt{2})^z - (1+\sqrt{2})^{-z}}{2} \right). 

Применяя правило дифференцирования степенной функции a^z:
\frac{d}{dz} a^z = a^z \ln a, получаем:

 L'(z) = \frac{(1+\sqrt{2})^z \ln(1+\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2})^{-z} \ln(1+\sqrt{2})}{2}. 

2. Найдём z_0, при котором L'(z_0) = \ln(1+\sqrt{2}):

Приравняем:

 \frac{(1+\sqrt{2})^{z_0} \ln(1+\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2})^{-z_0} \ln(1+\sqrt{2})}{2} = \ln(1+\sqrt{2}). 

Домножим обе части на 2 и вынесем \ln(1+\sqrt{2}):

 (1+\sqrt{2})^{z_0} + (1+\sqrt{2})^{-z_0} = 2. 

Заметим, что это уравнение имеет вид:

 x + \frac{1}{x} = 2. 

где x = (1+\sqrt{2})^{z_0}. Решая его, получаем:

 (1+\sqrt{2})^{z_0} = 1. 

Отсюда:

 z_0 = 0. 

Ответ:

Точка z_0 = 0.