Найти точку разрыва функции второго рода

Это задание по математике, раздел — исследование функций для нахождения разрывов. В частности, нужно найти точку разрыва функции второго рода. Дана функция:

$\text{[}y={\displaystyle \frac{(x+5)(x-4)}{x^2-25}}\text{]}$

Шаг 1: Найдем нули знаменателя

Для начала решим $\text{(}{x}^2-25=0\text{)}$:

$\text{[}(x-5)(x+5)=0\text{]}$

Корни этого уравнения: $\text{(}x=5\text{)}$ и $\text{(}x=-5\text{)}$. То есть, при $\text{(}x=5\text{)}$ и $\text{(}x=-5\text{)}$ функция не определена, так как знаменатель обращается в ноль.

Шаг 2: Проанализируем возможные типы разрывов

Ответ: Точка разрыва второго рода — это $\text{(}x=5\text{)}$.

Теперь исследуем числитель. Обратите внимание, что в числителе у нас есть множитель $\text{(}x+5\text{)}$, что совпадает с корнем знаменателя при $\text{(}x=-5\text{)}$. Это означает, что при $\text{(}x=-5\text{)}$ числитель и знаменатель взаимно сокращаются, и скорее всего это точка устранимого разрыва, так как кратность корня у числителя и знаменателя одинакова. Однако при $\text{(}x=5\text{)}$ числитель не обращается в 0 (так как $\text{(}(x+5)(x-4)\text{)}$ не имеет множителя $\text{(}x-5\text{)}$ в числителе), что означает, что в точке $\text{(}x=5\text{)}$ функция имеет разрыв второго рода.