Найти точку разрыва функции второго рода

Это задание по математике, раздел — исследование функций для нахождения разрывов. В частности, нужно найти точку разрыва функции второго рода. Дана функция:

\[ y = \dfrac{(x+5)(x-4)}{x^2 - 25} \]

Шаг 1: Найдем нули знаменателя

Для начала решим \(\ x^2 - 25 = 0\):

\[ (x-5)(x+5) = 0 \]

Корни этого уравнения: \(\ x = 5\) и \(\ x = -5\). То есть, при \(\ x = 5\) и \(\ x = -5\) функция не определена, так как знаменатель обращается в ноль.

Шаг 2: Проанализируем возможные типы разрывов

Ответ: Точка разрыва второго рода — это \(\ x = 5\).

Теперь исследуем числитель. Обратите внимание, что в числителе у нас есть множитель \(x+5\), что совпадает с корнем знаменателя при \(x = -5\). Это означает, что при \(x = -5\) числитель и знаменатель взаимно сокращаются, и скорее всего это точка устранимого разрыва, так как кратность корня у числителя и знаменателя одинакова. Однако при \(x = 5\) числитель не обращается в 0 (так как \((x+5)(x-4)\) не имеет множителя \(x-5\) в числителе), что означает, что в точке \(x = 5\) функция имеет разрыв второго рода.