Найти точку разрыва

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (исследование функций на разрывы)

Задание: Определить тип точки разрыва для функции \( y = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \).

1. Анализ функции

Функция выглядит как \( y = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \). Синус — это непрерывная функция, но нас интересует выражение, которое содержится в аргументе синуса: \( \frac{\pi}{x} \).

Когда возникает разрыв?

Чтобы выявить точку разрыва, нужно определить, при каких значениях \( x \) функция становится не определена или ведёт себя «особенно». В данном случае проблема возникает в точке \( x = 0 \), поскольку деление на ноль в выражении \( \frac{\pi}{x} \) не определено.

2. Проверка ε-окрестностей и пределов

Теперь проверим поведение функции при \( x \to 0 \).

• При \( x \to 0^+ \) (то есть когда \( x \) стремится к нулю с положительных значений): Аргумент синуса \( \frac{\pi}{x} \) стремится к бесконечности (так как \( \frac{1}{x} \to +\infty \)). Синус ведёт себя как периодическая функция с колебаниями между -1 и 1, и из этого следует, что когда \( x \) приближается к нулю, \( \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \) бесконечно быстро осциллирует в пределах от -1 до 1.
• При \( x \to 0^- \) (то есть когда \( x \) стремится к нулю с отрицательных значений): Аргумент снова стремится к бесконечности, но в противоположную сторону \( \frac{1}{x} \to -\infty \), и синус также осциллирует между -1 и 1.

3. Характеристика разрыва

При \( x = 0 \) функция непрерывной быть не может, поскольку при стремлении к нулю с разных сторон функция не стремится к какому-то конкретному значению, а начинает колебаться между -1 и 1. Это указывает на разрыв первого рода с осцилляциями (или колебаниями). Так как пределы справа и слева около 0 не существуют (из-за бесконечных осцилляций), эта точка является существенным разрывом.

Заключение:

Точка \( x = 0 \) — это точка существенного (или разрыв c осцилляцией) разрыва для функции \( y = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \).