Найти точку разрыва

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (исследование функций на разрывы)

Задание: Определить тип точки разрыва для функции $\text{(}y=\sin \left(\frac{\pi }{x}\right)\text{)}$.

1. Анализ функции

Функция выглядит как $\text{(}y=\sin \left(\frac{\pi }{x}\right)\text{)}$. Синус — это непрерывная функция, но нас интересует выражение, которое содержится в аргументе синуса: $\text{(}\frac{\pi }{x}\text{)}$.

Когда возникает разрыв?

Чтобы выявить точку разрыва, нужно определить, при каких значениях $\text{(}x\text{)}$ функция становится не определена или ведёт себя «особенно». В данном случае проблема возникает в точке $\text{(}x=0\text{)}$, поскольку деление на ноль в выражении $\text{(}\frac{\pi }{x}\text{)}$ не определено.

2. Проверка ε-окрестностей и пределов

Теперь проверим поведение функции при $\text{(}x\to 0\text{)}$.

• При $\text{(}x\to 0^{+}\text{)}$ (то есть когда $\text{(}x\text{)}$ стремится к нулю с положительных значений): Аргумент синуса $\text{(}\frac{\pi }{x}\text{)}$ стремится к бесконечности (так как $\text{(}\frac{1}{x}\to +\mathrm{\infty }\text{)}$). Синус ведёт себя как периодическая функция с колебаниями между -1 и 1, и из этого следует, что когда $\text{(}x\text{)}$ приближается к нулю, $\text{(}\sin \left(\frac{\pi }{x}\right)\text{)}$ бесконечно быстро осциллирует в пределах от -1 до 1.
• При $\text{(}x\to 0^{-}\text{)}$ (то есть когда $\text{(}x\text{)}$ стремится к нулю с отрицательных значений): Аргумент снова стремится к бесконечности, но в противоположную сторону $\text{(}\frac{1}{x}\to -\mathrm{\infty }\text{)}$, и синус также осциллирует между -1 и 1.

3. Характеристика разрыва

При $\text{(}x=0\text{)}$ функция непрерывной быть не может, поскольку при стремлении к нулю с разных сторон функция не стремится к какому-то конкретному значению, а начинает колебаться между -1 и 1. Это указывает на разрыв первого рода с осцилляциями (или колебаниями). Так как пределы справа и слева около 0 не существуют (из-за бесконечных осцилляций), эта точка является существенным разрывом.

Заключение:

Точка $\text{(}x=0\text{)}$ — это точка существенного (или разрыв c осцилляцией) разрыва для функции $\text{(}y=\sin \left(\frac{\pi }{x}\right)\text{)}$.