Найти точку перегиба функции

Определим предмет и раздел предмета

Данная задача относится к математике, конкретнее к разделу математического анализа, который включает исследование функций, нахождение производных, точек экстремума и точек перегиба. Найдём точку перегиба функции \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 \). Точка перегиба функции определяется там, где вторая производная изменяет знак. Чтобы найти эту точку, проделаем следующие шаги:

1. Найдём первую производную \( f(x) \):
   • \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 9x + 1) \] \[ f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 \]
2. Найдём вторую производную \( f(x) \):
   • \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 6x - 9) \] \[ f''(x) = 6x + 6 \]
3. Найдём точки, где вторая производная равна нулю:
   • \[ f''(x) = 6x + 6 = 0 \] \[ 6x + 6 = 0 \] \[ x = -1 \]
4. Определим, изменяет ли знак вторая производная в этой точке. Для этого проверим знаки второй производной слева и справа от \( x = -1 \).
   • Для \( x < -1 \), например \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 6(-2) + 6 = -12 + 6 = -6 \]
   • Для \( x > -1 \), например \( x = 0 \): \[ f''(0) = 6(0) + 6 = 6 \]

Вторая производная изменяет знак с отрицательного на положительный при переходе через \( x = -1 \). Таким образом, \( x = -1 \) является точкой перегиба функции.

Ответ: b. \( x = -1 \)