Найти точку минимума

Когда нужно найти точку минимума функции \( f(x) = \ln(x^2 + 5) \), нужно воспользоваться первым и вторым производными функции. Чтобы найти точку минимума, следуй этим шагам:

1. Найди первую производную функции \( f(x) \).
2. Найди критические точки, где эта производная равна нулю или не определена.
3. Проверь второй производной, чтобы определить, является ли каждая критическая точка минимума.

1. Найдём первую производную функции:

\[ f(x) = \ln(x^2 + 5) \]

Применим правило дифференцирования для логарифмической функции и цепное правило:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left[\ln(g(x))\right] = \frac{g'(x)}{g(x)} \]

В нашем случае \( g(x) = x^2 + 5 \):

\[ g'(x) = 2x \]

Таким образом,

\[ f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 5} \]

2. Найдём критические точки, приравняв первую производную к нулю:

\[ \frac{2x}{x^2 + 5} = 0 \]

Числитель должен быть равен нулю для того, чтобы дробь была равна нулю:

\[ 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \]

Теперь мы имеем критическую точку \( x = 0 \).

3. Проверим вторую производную, чтобы определить природу критической точки:

Найдём вторую производную функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 5} \]

Применим правило частного для нахождения второй производной \( f(x) \):

\[ f''(x) = \frac{(2)(x^2 + 5) - (2x)(2x)}{(x^2 + 5)^2} = \frac{2x^2 + 10 - 4x^2}{(x^2 + 5)^2} = \frac{-2x^2 + 10}{(x^2 + 5)^2} \]

Теперь оценим вторую производную в критической точке \( x = 0 \):

\[ f''(0) = \frac{-2(0)^2 + 10}{(0^2 + 5)^2} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} \]

Так как \( f''(0) > 0 \), критическая точка \( x = 0 \) является точкой минимума. Таким образом, точка минимума функции \( f(x) = \ln(x^2 + 5) \) находится при \( x = 0 \).

Ответ: \( \boxed{b. \, x = 0} \)