Найти точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление, исследование функции

Нам нужно найти точки, в которых касательная к графику функции $\text{(}y\text{)}$ параллельна оси $\text{(}OX\text{)}$. Касательная параллельна оси $\text{(}OX\text{)}$, если её угол наклона равен 0, что соответствует условию, что производная функции равна нулю.

Функция дана как: $\text{[}y=(3-x^2)e^x\text{]}$

Шаг 1. Найдём производную функции $\text{(}y\text{)}$

Используем правило продукта $\text{(}(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\text{)}$, где: $\text{(}u=(3-x^2)\text{)}$, $\text{(}v=e^x\text{)}$.

1. Найдём производные $\text{(}{u}^{\prime }\text{)}$ и $\text{(}{v}^{\prime }\text{)}$: $\text{[}u=3-x^2,u^{\prime }=-2x,v=e^x,v^{\prime }=e^x\text{]}$
2. Применим правило произведения: $\text{[}{y}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\text{]}$ $\text{[}{y}^{\prime }=(-2x)e^x+(3-x^2)e^x\text{]}$

Шаг 2. Упростим выражение для $\text{(}{y}^{\prime }\text{)}$

Вынесем общий множитель $\text{(}{e}^x\text{)}$ за скобки:

$\text{[}{y}^{\prime }=e^x((-2x)+(3-x^2))\text{]}$

$\text{[}{y}^{\prime }=e^x(3-2x-x^2)\text{]}$

$\text{[}{y}^{\prime }=e^x(-x^2-2x+3)\text{]}$

Шаг 3. Приравняем производную $\text{(}{y}^{\prime }\text{)}$ к нулю

Поскольку $\text{(}{e}^x>0\text{)}$ для всех $\text{(}x\text{)}$, уравнение $\text{(}{y}^{\prime }=0\text{)}$ выполнено, если:

$\text{[}-x^2-2x+3=0\text{]}$

Упростим:

$\text{[}{x}^2+2x-3=0\text{]}$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение

Квадратное уравнение: $\text{[}{x}^2+2x-3=0\text{]}$

Решим его по формуле:

$\text{[}x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\text{]}$

Здесь $\text{(}a=1\text{)}$, $\text{(}b=2\text{)}$, $\text{(}c=-3\text{)}$:

$\text{[}x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4(1)(-3)}}{2(1)}\text{]}$

$\text{[}x=\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}\text{]}$

$\text{[}x=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}\text{]}$

$\text{[}x=\frac{-2\pm 4}{2}\text{]}$

Найдём два корня:

$\text{[}{x}_1=\frac{-2+4}{2}=1,x_2=\frac{-2-4}{2}=-3\text{]}$

Шаг 5. Найдём точки, подставив $\text{(}{x}_1\text{)}$ и $\text{(}{x}_2\text{)}$ в исходную функцию

1. Для $\text{(}x=1\text{)}$: $\text{[}y=(3-1^2)e^1=(3-1)e=2e\text{]}$ Точка: $\text{(}(1,2e)\text{)}$.
2. Для $\text{(}x=-3\text{)}$: $\text{[}y=(3-(-3{)}^2)e^{-3}=(3-9)e^{-3}=-6e^{-3}\text{]}$ Точка: $\text{(}(-3,-6e^{-3})\text{)}$.

Ответ:

Точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси $\text{(}OX\text{)}$:

$\text{[}(1,2e)\text{и}(-3,-6e^{-3}).\text{]}$