Найти точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление, исследование функции

Нам нужно найти точки, в которых касательная к графику функции \( y \) параллельна оси \( OX \). Касательная параллельна оси \( OX \), если её угол наклона равен 0, что соответствует условию, что производная функции равна нулю.

Функция дана как: \[ y = (3 - x^2)e^x \]

Шаг 1. Найдём производную функции \( y \)

Используем правило продукта \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \), где: \( u = (3 - x^2) \), \( v = e^x \).

1. Найдём производные \( u' \) и \( v' \): \[ u = 3 - x^2, \quad u' = -2x, \quad v = e^x, \quad v' = e^x \]
2. Применим правило произведения: \[ y' = u'v + uv' \] \[ y' = (-2x)e^x + (3 - x^2)e^x \]

Шаг 2. Упростим выражение для \( y' \)

Вынесем общий множитель \( e^x \) за скобки:

\[ y' = e^x \big((-2x) + (3 - x^2)\big) \]

\[ y' = e^x (3 - 2x - x^2) \]

\[ y' = e^x (-x^2 - 2x + 3) \]

Шаг 3. Приравняем производную \( y' \) к нулю

Поскольку \( e^x > 0 \) для всех \( x \), уравнение \( y' = 0 \) выполнено, если:

\[ -x^2 - 2x + 3 = 0 \]

Упростим:

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Шаг 4. Решим квадратное уравнение

Квадратное уравнение: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Решим его по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \):

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \]

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \]

\[ x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]

Найдём два корня:

\[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]

Шаг 5. Найдём точки, подставив \( x_1 \) и \( x_2 \) в исходную функцию

1. Для \( x = 1 \): \[ y = (3 - 1^2)e^1 = (3 - 1)e = 2e \] Точка: \( (1, 2e) \).
2. Для \( x = -3 \): \[ y = (3 - (-3)^2)e^{-3} = (3 - 9)e^{-3} = -6e^{-3} \] Точка: \( (-3, -6e^{-3}) \).

Ответ:

Точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси \( OX \):

\[ (1, 2e) \quad \text{и} \quad (-3, -6e^{-3}). \]