Найти точки условного экстремума функции при ограничениях

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ → Условный экстремум функции нескольких переменных, методы оптимизации с ограничениями.

Условие задачи:

Найти точки условного экстремума функции:

f(x) = (x_1 + 2)^2 + (x_2 + 2)^2 - 10

при ограничениях:

 \begin{cases} x_1^2 + x_2^2 - 1 \leq 0, \ x_1 \geq 0, \ x_2 \geq 0. \end{cases} 

Шаг 1. Преобразуем целевую функцию в квадратичную форму

Функция:

f(x) = (x_1 + 2)^2 + (x_2 + 2)^2 - 10

Раскроем скобки:

 \begin{align*} f(x) &= x_1^2 + 4x_1 + 4 + x_2^2 + 4x_2 + 4 - 10 \ &= x_1^2 + x_2^2 + 4x_1 + 4x_2 - 2 \end{align*} 

Это квадратичная форма:

 f(x) = x^T Q x + c^T x + d 

где:

• x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix}
• Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}
• c = \begin{bmatrix} 4 \ 4 \end{bmatrix}
• d = -2

Шаг 2. Ограничения

Основное ограничение:

g(x) = x_1^2 + x_2^2 - 1 \leq 0

Дополнительные (прямые):

 x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0 

Шаг 3. Метод Каруша-Куна-Таккера (KKT)

Для задачи минимизации с неравенствами:

Минимизировать f(x)
при g_1(x) \leq 0, g_2(x) \leq 0, g_3(x) \leq 0

где:

• g_1(x) = x_1^2 + x_2^2 - 1
• g_2(x) = -x_1
• g_3(x) = -x_2

Составим лагранжиан:

 L(x, \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = f(x) + \lambda_1 g_1(x) + \lambda_2 g_2(x) + \lambda_3 g_3(x) 

Подставим:

 L = x_1^2 + x_2^2 + 4x_1 + 4x_2 - 2 + \lambda_1(x_1^2 + x_2^2 - 1) - \lambda_2 x_1 - \lambda_3 x_2 

Шаг 4. Условия KKT

1. Стационарность:
    \frac{\partial L}{\partial x_1} = 2x_1 + 4 + 2\lambda_1 x_1 - \lambda_2 = 0 \ \frac{\partial L}{\partial x_2} = 2x_2 + 4 + 2\lambda_1 x_2 - \lambda_3 = 0 

2. Допустимость:
    x_1^2 + x_2^2 - 1 \leq 0, \quad x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0 

3. Дополнительная комплементарность (условие активных ограничений):
    \lambda_1 (x_1^2 + x_2^2 - 1) = 0 \ \lambda_2 x_1 = 0 \ \lambda_3 x_2 = 0 

4. Неотрицательность множителей Лагранжа:
    \lambda_1 \geq 0, \quad \lambda_2 \geq 0, \quad \lambda_3 \geq 0 

Шаг 5. Перебор возможных активных ограничений

Рассмотрим активные ограничения, т.е. когда равенство выполняется.

Случай 1: Ограничение x_1^2 + x_2^2 = 1 активно, x_1 > 0, x_2 > 0

Тогда \lambda_2 = \lambda_3 = 0. Получаем:

 2x_1 + 4 + 2\lambda_1 x_1 = 0 \Rightarrow x_1(2 + 2\lambda_1) = -4 \ 2x_2 + 4 + 2\lambda_1 x_2 = 0 \Rightarrow x_2(2 + 2\lambda_1) = -4 

Разделим:

 x_1 = x_2 \Rightarrow x_1^2 + x_1^2 = 1 \Rightarrow 2x_1^2 = 1 \Rightarrow x_1 = x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} 

Подставим в уравнение:

 \frac{1}{\sqrt{2}}(2 + 2\lambda_1) = -4 \Rightarrow \lambda_1 = -\frac{4\sqrt{2} + 2}{2} < 0 

Нарушается условие \lambda_1 \geq 0 → этот случай не подходит.

Случай 2: Активны все ограничения:

x_1 = 0, x_2 = 0, x_1^2 + x_2^2 - 1 \leq 0

Проверим значение функции в точке:

 f(0, 0) = (0 + 2)^2 + (0 + 2)^2 - 10 = 4 + 4 - 10 = -2 

Допустимая точка? Да:
0^2 + 0^2 - 1 = -1 \leq 0

Случай 3: На границе круга:

Рассмотрим точку на границе круга в первом квадранте:
x_1 = \cos\theta, \quad x_2 = \sin\theta, \theta \in [0, \frac{\pi}{2}]

Минимизируем:

 f(\theta) = (\cos\theta + 2)^2 + (\sin\theta + 2)^2 - 10 

Рассмотрим производную по \theta и найдем минимум численно или аналитически.

Шаг 6: Геометрическое решение

Целевая функция — расстояние от точки (-2, -2) до точки (x_1, x_2) минус 10.
Минимум достигается при ближайшей точке к (-2, -2) на множестве:

 x_1^2 + x_2^2 \leq 1, \quad x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0 

Это четверть круга радиуса 1 в первом квадранте. Ближайшая точка к (-2, -2) — точка на границе круга в направлении вектора (1,1), т.е.:

 x_1 = x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} 

Проверим значение функции:

 f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + 2\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + 2\right)^2 - 10 = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + 2\right)^2 - 10 

Ответ:

Точка условного минимума:

 x_1 = x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} 

Минимальное значение функции:

 f = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + 2\right)^2 - 10