Найти точки существования производной функции

Предмет: Математический анализ
Раздел: Комплексный анализ

Задача:

Найти точки существования производной функции f(z) = \cos(iz) и вычислить в них f'(z).

Решение:

1. Проверим аналитичность функции f(z):

Функция f(z) = \cos(iz) содержит комплексный аргумент iz. Косинус определён для всех комплексных чисел, так как он является аналитической функцией на всей комплексной плоскости. Поэтому f(z) аналитична во всех точках z \in \mathbb{C}. Таким образом, производная функции существует на всей комплексной плоскости.

2. Найдём производную f'(z):

По правилу дифференцирования косинуса имеем:  \frac{d}{dz} \cos(iz) = -\sin(iz) \cdot \frac{d}{dz}(iz). 

Так как \frac{d}{dz}(iz) = i, получаем:  f'(z) = -\sin(iz) \cdot i = -i \sin(iz). 

3. Упростим выражение для f'(z):

Используем свойства комплексного синуса:  \sin(iz) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}. 

Подставим это в выражение для производной:  f'(z) = -i \cdot \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} = -\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2}. 

Таким образом, производная функции:  f'(z) = -\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2}. 

Ответ:

1. Функция f(z) = \cos(iz) аналитична на всей комплексной плоскости \mathbb{C}, поэтому точки существования производной — это все z \in \mathbb{C}.
2. Производная функции:  f'(z) = -\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2}.