Найти точки существования функции

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ

Задание: Найти точки существования производной функции ( f(z) = \frac{z + 2}{z} ).

Решение:

Функция ( f(z) = \frac{z + 2}{z} ) является дробно-рациональной функцией, поэтому для определения точек существования её производной нужно найти область определения функции. Производная функции существует во всех точках, где функция определена и является гладкой (аналитической).

1. Область определения функции

Функция ( f(z) = \frac{z + 2}{z} ) определена, если знаменатель ( z \neq 0 ). Таким образом, область определения функции: [ D = { z \in \mathbb{C} \, | \, z \neq 0 }. ]

2. Производная функции

Для нахождения производной ( f(z) ) используем правило дифференцирования дроби: [ f'(z) = \frac{(z) \cdot (1) - (z + 2) \cdot (1)}{z^2}. ]

Упростим выражение: [ f'(z) = \frac{z - (z + 2)}{z^2} = \frac{z - z - 2}{z^2} = \frac{-2}{z^2}. ]

3. Точки существования производной

Производная ( f'(z) = \frac{-2}{z^2} ) существует везде, где ( z \neq 0 ), так как знаменатель ( z^2 ) не обращается в ноль.

Ответ: Производная функции ( f(z) = \frac{z + 2}{z} ) существует во всех точках, кроме ( z = 0 ).