Найти точки разрыва и определить их характер, В случае устранимогоразрыва доопределить функцию "по непрерывности".

Определение предмета и раздела: Это задание по математическому анализу, а конкретнее по исследованию разрывов функций.

Решение:

Дана функция: \( f(x) = \frac{x+3}{x-3} \)

1. Найти точки разрыва

Для нахождения точек разрыва необходимо выяснить, при каких значениях \( x \) функция либо не определена, либо в этих точках нарушена непрерывность. Функция будет не определена в точках, где знаменатель обращается в ноль: \( x - 3 = 0 \) \( x = 3 \)

2. Определить характер разрыва

Проверим пределы функции \( f(x) \) слева и справа от точки \( x = 3 \):

\[ \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{x+3}{x-3} \]

Для значений \( x \) чуть меньше 3 (например, \( x = 2.999 \)):

\( f(x) \approx \frac{2.999 + 3}{2.999 - 3} = \frac{5.999}{-0.001} = -5999 \)

Предел функции слева: \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty \)

Теперь проверим предел функции справа:

\[ \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{x+3}{x-3} \]

Для значений \( x \) чуть больше 3 (например, \( x = 3.001 \)):

\( f(x) \approx \frac{3.001 + 3}{3.001 - 3} = \frac{6.001}{0.001} = 6001 \)

Предел функции справа: \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty \)

Так как пределы функции при \( x \to 3^- \) и \( x \to 3^+ \) не равны, то точка \( x = 3 \) является точкой разрыва второго рода.

Вывод:

Разрыв в точке \( x = 3 \) неустранимый, так как пределы функции с разных сторон не совпадают. Таким образом, функция \( f(x) = \frac{x+3}{x-3} \) имеет точку разрыва второго рода в \( x = 3 \).