Найти точки разрыва функции определить их тип

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, исследование точек разрыва функции

Дана функция: \[ f(x) = \frac{x^2}{\cos x - 1}. \]

Нужно найти точки разрыва функции, определить их тип, а также найти величину скачка в точках разрыва первого рода.

Шаги решения:

1. Найдем области определения функции:

Функция \(f(x)\) не определена, если знаменатель равен нулю, то есть: \[ \cos x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x = 1. \]

\(\cos x = 1\) выполняется при \(x = 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\) (целые числа).

Итак, функция не определена в точках: \[ x = 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}. \] Это возможные точки разрыва функции.

2. Проверим поведение функции в окрестности разрывов \(x = 2\pi k\):

Знаменатель \(\cos x - 1\) обращается в ноль при \(x \to 2\pi k\). Чтобы уточнить тип разрыва, проанализируем, как ведет себя числитель \(x^2\).

• Числитель \(x^2\) конечен (\(x^2 \to (2\pi k)^2\)).
• Знаменатель \(\cos x - 1\) около \(x = 2\pi k\) можно разложить в ряд Тейлора: \[ \cos x \approx 1 - \frac{(x - 2\pi k)^2}{2}. \]

Функция \(f(x)\) будет иметь вид: \[ f(x) = \frac{x^2}{\cos x - 1} \approx \frac{x^2}{-\frac{(x - 2\pi k)^2}{2}} = \frac{-2x^2}{(x - 2\pi k)^2}. \]

3. Вывод о разрывах:

• При \(x \to 2\pi k\) функция \(f(x)\) стремится к \(-\infty\) или \(+\infty\) (в зависимости от направления), так как разрыв является разрывом второго рода (так как пределы в точке \(x = 2\pi k\) не существуют).

Итог:

1. Точки разрыва функции: \(x = 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}\).
2. Эти разрывы являются разрывами второго рода.
3. Скачков функции нет, так как разрыв второго рода не имеет определённых пределов слева и справа.

Тогда: \[ \cos x - 1 \approx -\frac{(x - 2\pi k)^2}{2}. \]