Найти точки разрыва функции и определить их тип

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Точки разрыва функции)

Дана функция:

f(x) = \frac{\arcsin(x^2)}{2x^2 - x^3}.

Необходимо найти точки разрыва функции, определить их тип и, если разрыв второго рода, найти скачок функции.

Шаг 1. Область определения функции

Функция \arcsin(x^2) определена, если -1 \leq x^2 \leq 1, то есть x^2 \leq 1. Следовательно, x \in [-1, 1].

Знаменатель 2x^2 - x^3 не должен быть равен нулю. Решим уравнение:

2x^2 - x^3 = 0
Вынесем x^2 за скобки:

x^2(2 - x) = 0.

Отсюда x = 0 или x = 2. Так как область определения ограничена x \in [-1, 1], то x = 2 не входит в область определения. Таким образом, исключаем точку x = 0.

Итак, область определения функции:
x \in [-1, 1] \setminus \{0\}.

Шаг 2. Проверка разрывов

2.1. Точка x = 0

Точка x = 0 исключена из области определения, поэтому здесь потенциальный разрыв. Проверим пределы слева и справа от x = 0.

Функция имеет вид:

f(x) = \frac{\arcsin(x^2)}{2x^2 - x^3}.

• Для x \to 0^+ и x \to 0^− числитель стремится к \arcsin(0) = 0, а знаменатель 2x^2 - x^3 \to 0. Следовательно, необходимо исследовать предел подробнее.

Запишем:

f(x) = \frac{\arcsin(x^2)}{x^2(2 - x)}.

При x \to 0^+ и x \to 0^− знаменатель стремится к 0, а числитель к 0. Требуется исследовать предел:

\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x^2)}{x^2(2 - x)}.

Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно:

1. \arcsin(x^2) \sim x^2 при x \to 0.
2. Знаменатель x^2(2 - x) \sim 2x^2 при x \to 0.

Тогда:

\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x^2)}{x^2(2 - x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}.

Предел существует и равен \frac{1}{2}, следовательно, в точке x = 0 разрыва нет.

2.2. Концы интервала x = -1 и x = 1

На концах интервала \arcsin(x^2) определена, а знаменатель 2x^2 - x^3 не обращается в ноль. Следовательно, разрывов в этих точках нет.

Шаг 3. Вывод

Функция f(x) не имеет точек разрыва на своей области определения x \in [-1, 1] \setminus \{0\}.