Найти точки разрыва функции и определить их тип

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Точки разрыва функции)

Дана функция:

$f(x)=\frac{\arcsin (x^2)}{2x^2-x^3}$.

Необходимо найти точки разрыва функции, определить их тип и, если разрыв второго рода, найти скачок функции.

Шаг 1. Область определения функции

Функция $\arcsin (x^2)$ определена, если $-1\le x^2\le 1$, то есть $x^2\le 1$. Следовательно, $x\in [-1,1]$.

Знаменатель $2x^2-x^3$ не должен быть равен нулю. Решим уравнение:

$2x^2-x^3=0$
Вынесем $x^2$ за скобки:

$x^2(2-x)=0$.

Отсюда $x=0$ или $x=2$. Так как область определения ограничена $x\in [-1,1]$, то $x=2$ не входит в область определения. Таким образом, исключаем точку $x=0$.

Итак, область определения функции:
$x\in [-1,1]\setminus \{0\}$.

Шаг 2. Проверка разрывов

2.1. Точка $x=0$

Точка $x=0$ исключена из области определения, поэтому здесь потенциальный разрыв. Проверим пределы слева и справа от $x=0$.

Функция имеет вид:

$f(x)=\frac{\arcsin (x^2)}{2x^2-x^3}$.

• Для $x\to 0^{+}$ и $x\to 0^{-}$ числитель стремится к $\arcsin (0)=0$, а знаменатель $2x^2-x^3\to 0$. Следовательно, необходимо исследовать предел подробнее.

Запишем:

$f(x)=\frac{\arcsin (x^2)}{x^2(2-x)}.$

При $x\to 0^{+}$ и $x\to 0^{-}$ знаменатель стремится к $0$, а числитель к $0$. Требуется исследовать предел:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\arcsin (x^2)}{x^2(2-x)}.$

Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно:

1. $\arcsin (x^2)\sim x^2$ при $x\to 0$.
2. Знаменатель $x^2(2-x)\sim 2x^2$ при $x\to 0$.

Тогда:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\arcsin (x^2)}{x^2(2-x)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}.$

Предел существует и равен $\frac{1}{2}$, следовательно, в точке $x=0$ разрыва нет.

2.2. Концы интервала $x=-1$ и $x=1$

На концах интервала $\arcsin (x^2)$ определена, а знаменатель $2x^2-x^3$ не обращается в ноль. Следовательно, разрывов в этих точках нет.

Шаг 3. Вывод

Функция $f(x)$ не имеет точек разрыва на своей области определения $x\in [-1,1]\setminus \{0\}$.