Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род

Предмет: Математика — Раздел «Математический анализ» (Исследование функций)

Задание: Найти точки разрыва функции \( f(x) \) и определить их род.

Функция

\[ f(x) = \frac{\frac{1}{3^{x-2}} - 1}{\frac{1}{3^{x-2}} + 1} \]

Шаг 1: Найти основания для возможных точек разрыва

Мы должны найти значения \( x \), при которых функция не определена. Для этого нужно проанализировать знаменатель.

Рассматриваем знаменатель:

\[ Z(x) = \frac{1}{3^{x-2}} + 1 \]

Так как в знаменателе нет отрицательных степеней или определённого выражения, и всё суммируется с \( 1 \), то знаменатель не может быть равен нулю при любом значении \( x \).

Вывод:

На этом этапе видно, что в функции нет таких значений \( x \), при которых знаменатель становится нулём. Значит, точек разрыва не существует.

Шаг 2: Проверка наличия разрывов

Необходимо дополнительно исследовать экстремальные и пограничные значения для понимания поведения функции при предельных значениях \( x \).

При \( x \to \infty \):

Предел функции \( f(x) \) можно найти, подставив \( x \to \infty \) в экспоненты.

\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3^{x-2}} - 1}{\frac{1}{3^{x-2}} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1 \]

При \( x \to -\infty \):

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{3^{x-2}} - 1}{\frac{1}{3^{x-2}} + 1} = \frac{\infty - 1}{\infty + 1} = 1 \]

Заключение:

Функция не имеет точек разрыва. Она определена для всех \( x \in \mathbb{R} \).